Міністерство охорони здоров’я України

Житомирський фармацевтичний коледж

ім. Г.С. Протасевича

Реферат

на тему:

“ Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя”

 

                                                                           Роботу виконала

                                                               Студентка 211 групи

                                                               Піщук Олеся

                                                               Викладач:

                                                               Виговська В.Г.

                                                               Отриманий бал:

                                                               _____________

м. Житомир – 2006

 

План

 

І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя.

1) Правило Лопіталя.

     а) Наслідок.

     б) Приклад 1.

2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1∞; 00; ∞0.

     а) Приклад 2.

     б) Приклад 3.

     в) Приклад 4.

Список використаної літератури.

І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя.

 

Лопіталь де Гійом Франсуа (1661-2.02.1704 рр.). Французький математик, член Парижської АН, народився в Парижі, вивчав математику під керівництвом У. Бернуллі. Видав перший друкований підручник по диференціальному обчисленню – “Аналіз нескінченно малих” (1696р.). В підручнику є правило Лопіталя – правило знаходження межі дробу, чисельник і знаменник якого прямує до 0. Крім того, він створив курс аналітичної геометрії конічних перетинів. Йому також належить дослідження і розвиток за допомогою математичного аналізу декількох важких задач по геометрії і механіці, а також одне із рівнянь знаменитої задачі о браністохроні.

 

1.  Правило Лопіталя.

Нехай виконані умови:

1.  функції f(х) та g(х) визначені і диференційовані в колі точки х0;

2.  частка цих функцій  в точці х0 має невизначеність вигляду  або ;

3.  існує .

Тоді існує  і виконує рівність:

            (1)

 

а) Наслідок.

Нехай:

1. Визначені в колі точки х0 функції f(х),  g(х) та їх похідні до n-го порядку включно;

2. Частки , , …,  мають невизначеність вигляду  або ;

3. Існує , тоді

               (2)

 

б) Приклад 1.

Знайти: .

Розв’язання:

Функції  та  визначені з усіма своїми похідними в околі точки х=0.

Маємо:

.

2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1∞; 00; ∞0.

Існують прийоми, що дозволяють зводити вказані невизначеності до невизначеностей вигляду  або , які можна розкривати з використанням правила Лопіталя.

1.   Нехай  і ,  тоді

             (3)

За умовою  при , тому  при .

Якщо  не прямує до 0 при , то границя в правій частині (3) не існує, а тому і границя лівої частини (3) не існує.

Якщо  при , то вираз  має невизначеність .

2. Нехай , , тоді  має невизначеність вигляду  при .

В цьому випадку поступають так:

Під знаком останньої границі маємо невизначеність .

3.  Нехай ,  при . ............