Курсова робота: Рішення лінійних рівнянь першого порядку

Зміст

1. Введення

2. Постановка задачі

3. Знаходження власних чисел і побудова ФСР

4. Побудова фундаментальної матриці рішень методом Ейлера

5. Знаходження наближеного рішення у вигляді матричного ряду

6. Побудова загального рішення матричним методом

7. Задача Коші для матричного методу

8. Рішення неоднорідної системи

Графіки

Висновок

Література

1. Введення

Розглянемо систему лінійних рівнянь першого порядку, записану в нормальній формі:

 (1)

де коефіцієнти аij, i=1,2,….,n, до=1,2,.,n, є постійними величинами;

yi=yi (t), i=1,2,…,n-невідомі функції змінної t.

Якщо всі bi (t) (i=1,2,…,n) покласти рівним нулю (bi (t) =0), те вийде однорідна система, що відповідає неоднорідній системі (1).

Позначаючи матрицю системи через А (х), а вектор  через  тоді систему (1) можемо переписати в матричній формі

 (1а)

Якщо , то одержуємо відповідну систему однорідних рівнянь

. (2)

Усяка сукупність n функцій

  

певних і безупинно в інтервалі (a; b), називається рішенням системи (1) у цьому інтервалі, якщо вона обертає всі рівняння системи (1) у тотожності:

справедливі при всіх значеннях x з інтервалу (a, b). Загальне рішення неоднорідної системи являє собою суму загального рішення відповідної однорідної системи й приватного рішення неоднорідної.

2. Постановка задачі

Ціль роботи: дослідження методів рішення системи диференціальних рівнянь із постійною матрицею:

; ;

 

Завдання.

1.  Знайти власні числа й побудувати фундаментальну систему рішень (ФСР).

2.  Побудувати фундаментальну матрицю методом Ейлера.

3.  Знайти наближене рішення у вигляді матричного ряду.

4.  Побудувати загальне рішення матричним методом. Досліджувати залежність Жорданової форми матриці А від її власних чисел.

5.  Вирішити задачу Коші.

Початкові умови:

Вектор початкових умов: [1, 2, 3, 4]

t = 0

3. Знаходження власних чисел і побудова ФСР

Однорідною лінійною системою диференціальних рівнянь називається система рівнянь виду:

 (3)

Якщо в матриці системи  всі =const, то дана система називається системою з постійними коефіцієнтами або з постійною матрицею.

Фундаментальною системою рішень однорідної лінійної системи рівнянь називається базис лінійного простору рішень (, тобто n лінійно незалежних рішень цієї системи.

Для побудови фундаментальної системи рішень диференціального рівняння необхідно знайти власні числа характеристичного полінома, тому що залежно від їхнього виду (характеристичні числа можуть бути дійсними різними, кратними, комплексними) будується фундаментальна система рішень. Для того щоб ця система n лінійних однорідних рівнянь із n невідомими мала нетривіальне рішення, необхідно й досить, щоб визначник системи (вронскиан) дорівнює нулю:

 (4)

Із цього рівняння ступеня n визначається значення k, при яких система має нетривіальні рішення. Рівняння (4) називається характеристичним.

Запишемо характеристичний поліном, для цього скористаємося функцією CHARPOLY

Для знаходження власних чисел скористаємося функцією SOLVE (U, (), що повертає характеристичні числа матриці А в вектор (. ............