Міністерство освіти і науки України
Дніпропетровський національний університет ім. Олеся Гончара
Механіко-математичний факультет
Кафедра прикладної газової динаміки і тепломасообміну
Різницевий метод розв'язання крайових задач для
звичайних диференціальних рівнянь
Виконав: студент групи МТ-07-1
Коваленко О.А.
Керівник практики: асистент
Губін О.І.
Дніпропетровськ
2010
Зміст
I. Теоретична частина
I.1. Різницевий метод розв'язання крайових задач для
звичайних диференціальних рівнянь
I.2. Метод прогонки
II. Практична частина
II.1. Формулювання завдання
II.2. Лістинг програми на алгоритмічній мові Turbo Pascal
II.3. Результати обчислень
Висновки
Список використаної літератури
I. Теоретична частина
I.1 Різницевий метод розв'язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь
Крайова задача – це задача відшукання часткового розв'язку рівняння
(1)
на відрізку , у якій додаткові умови накладаються на значення функції U(x) і її похідних більш ніж в одній точці цього відрізка. Очевидно, що крайові задачі можливі для рівнянь порядку не нижче другого.
Розглянемо крайову задачу для нелінійного рівняння другого порядку:
(2)
з крайовими умовами першого роду.
Уведемо на [a; b] сітку , яку для спрощення будемо вважати рівномірною. Наближено виразимо другу похідну від розв'язку через значення розв'язку у вузлах сітки наприклад, скористаємося найпростішою апроксимацією:
(3)
Таку апроксимацію можна записати в кожному внутрішньому вузлі сітки xn, Якщо підставити її в рівняння (2), то рівняння стане наближеним; точно задовольняти цьому рівнянню буде вже не шуканий розв'язок U(x), а деякий наближений розв'язок Виконуючи цю підстановку, отримаємо систему нелінійних алгебраїчних рівнянь
(4)
останні два рівняння апроксимують крайові умови.
Якщо обмежена й неперервна разом зі своїми другими похідними, так, що існує обмежена й неперервна а також то при різницевий розв'язок рівномірно збігається до точного із другим порядком точності.
Розв'язок системи (4) можна отримати методом послідовних наближень у наступній формі:
(5)
Тоді для визначення на кожній ітерації виходить лінійна система, розв'язувана алгебраїчною прогонкою. Ітерації (5) збігаються при виконанні умови:
(6)
Умова (6) є достатньою, але вона близька до необхідної: більш складні оцінки показують, що якщо то ітерації (5) можуть розбігатися.
Різницевий метод має свої труднощі, пов'язані в основному з розв'язанням алгебраїчної системи рівнянь. Однак ці труднощі успішно долаються. Метод природно переноситься на рівняння високого порядку, причому трудомісткість обчислень майже не зростає. Його чисельна стійкість звичайно хороша.
I.2 Метод прогонки
Найбільш важливим окремим випадком методу Гауса є метод прогонки, застосовуваний до систем лінійних алгебраїчних рівнянь із тридіагональною матрицею. Такі системи звичайно записують у канонічному вигляді:
(7)
Метод прогонки зводиться до відшукання невідомих з наступних рекурентних співвідношень:
(8)
(9)
Формули (8) є формулами зворотного ходу, а (9) – формулами прямого ходу.
Для початку розрахунку потрібно задати величини і які невідомі. ............
