Систематична похибка опосередкованих вимірювань при нелінійній залежності

Підкреслимо одну важливу особливість результатів опосередкованих вимірювань при нелінійній залежності у порівнянні з результатами прямих багаторазових вимірювань. Якщо в результатах одноразових спостережень систематичні похибки вилучені, то математичне сподівання середнього арифметичного ряду прямих рівнорозсіяних спостережень дорівнює істинному значенню вимірюваної величини, тобто результати прямих виправлених спостережень вільні від систематичних похибок. На відміну від цього, математичне сподівання похибки результату опосередкованих вимірювань при нелінійній залежності, яка визначається певною формулою, не дорівнює нулю, тобто похибка результату такого опосередкованого вимірювання, поряд з випадковою складовою, має і систематичну складову. А це означає, що математичне сподівання результату опосередкованих вимірювань при нелінійній залежності не дорівнює істинному значенню вимірюваної величини, або інакше, що оцінка є зміщеною, якщо хоча будь-яка одна серед других похідних в не дорівнює нулю. Покажемо це.

Обчислимо математичне сподівання абсолютної похибки опосередкованих вимірювань Y з урахуванням:

.

У цьому виразі перша сума дорівнює нулю, оскільки  за умовою проведення експерименту, а друга сума визначає систематичну похибку. Отже, якщо вимірювані величини  корельовані між собою, то, враховуючи рівність

,

для систематичної похибки результату опосередкованих вимірювань дістаємо

Оцінку коефіцієнта кореляції  або визначають за експериментальними даними, або задають функціональною залежністю чи у вигляді матриці.

За умови, що вимірювані величини  не корельовані, маємо

Тоді систематична похибка результату опосередкованих вимірювань

.

Отже, опосередковані вимірювання при нелінійній залежності мають специфічну систематичну похибку, яка обумовлена ненульовими частинними похідними .

Щоб вилучити цю систематичну похибку, треба в результат опосередкованих вимірювань, обчислений за формулою, ввести поправку П, яка дорівнює систематичній похибці за значенням і обернена їй за знаком, тобто .

Опосередковані вимірювання при лінійній залежності вказаної вище специфічної систематичної похибки не мають, тому що для них .

Результат і похибка опосередкованих вимірювань

Довірчі границі випадкової похибки і границі не вилученої систематичної похибки результату опосередкованого вимірювання з нелінійною залежністю визначають за певними формулами, підставляючи в останні замість коефіцієнтів  відповідно перші похідні .

Довірчу повну похибку результату опосередкованого вимірювання обчислюють певним чином.

Остаточний результат опосередкованих вимірювань записується у вигляді

 при , (4.35)

де - границі допустимої випадкової похибки опосередкованих вимірювань.

Формули для оцінки СКВ і результату опосередкованих вимірювань справедливі за умови, що відомі оцінки дисперсії (і СКВ) початкових величин. Значення коефіцієнта  визначається для заданої довірчої ймовірності P, виходячи із закону розподілу результату  опосередкованого вимірювання. Якщо закон розподілу результату  опосередкованих вимірювань можна вважати нормальним, то для визначення  (і довірчих границь ) використовується інтегральна функція нормованого нормального розподілу при великому числі вимірювань . При малому числі  нормально розподілених результатів спостережень  слід користуватися розподілом Стьюдента з “ефективним” числом степенів вільності, що визначається виразом

. ............