Системи масового обслуговування з очікуванням без обмеження на довжину черги
1. Системи масового обслуговування з очікуванням
Багатоканальні СМО з обмеженою чергою. Нехай є система СМО, що має каналів. Кожна заявка надходить до СМО, починає обслуговуватись, коли хоча б один із каналів вільний. Якщо усі канали зайняті, тоді заявка потрапляє у накопичувач, де чекає звільнення хоча б одного із каналів. Нехай черга у накопичувачі обмежена числом . Якщо, один із каналів звільняється, заявка надходить на обслуговування до звільненого каналу по черзі, з якою заявка надійшла у СМО. Якщо заявка застане усі канали і усі місця у накопичувачі зайнятими, то вона втрачається. Потім припускатимемо, що вхідний потік заявок також пуассонівського з параметром , а потік обслугованих заявок також пуассонівський с параметром . Тоді система може знаходитись у станах Причому – це стани, коли немає черги, тобто відповідно – всі канали вільні, – один зайнятий, … , – усі каналів зайняті, - усі канали зайняті і одна заявка в черзі, … , – стан, коли всі каналів і всі місць у накопичувачі зайняті, тобто заявка, що надходить в такий момент втрачається. Можна графічно на рис. (1) стрілками вказати усі переходи від стану до стану, а над стрілками ймовірності переходів за час , якщо малий.
Рисунок 1
Якщо порівняти СМО з відмовами і СМО з обмеженою чергою, то зрозуміло, що для ймовірностей переходу , коли , ми одержуємо такі ж диференціальні рівняння як і рівняння системи без черги.
Отже потрібно скласти рівняння для перехідних ймовірностей, коли .
Нехай . Враховуючи властивості простіших потоків і формулу Смолуховського-Чепмена
,(1)
де – функція що задовольняє умові .
, (2)
, (3)
де як і раніше число заявок, що надходять до СМО за час ,
а – число заявок, що обслуговані за час .
(4)
Тепер врахуємо (2), (3 і (4) до (1)
Віднімемо від обох частин останньої рівності та розділимо на
Перейдемо до границі в обох частинах, коли
(5)
Тепер, продовжуючи аналогічні міркування, можна одержати рівняння для обчислення перехідних ймовірностей із стану до стану, коли , де
Враховуючи формулу Смолуховського-Чепмена, а також властивості простішого (пуассонівського) потоку можна записати:
(6)
Далі за властивістю стаціонарності і ординарності, маємо:
, (7)
, (8)
. (9)
Врахуємо (7), (8) і (9) до (6).
В останній рівності віднімемо від обох частин і розділимо на .
А тепер перейдемо до границі в обох частинах, коли , тоді
(10)
де .
Останнє рівняння системи, для визначення перехідних ймовірностей , містить :
Враховуючи ті ж самі властивості стаціонарності і ординарності простіших (пуассонівських) потоків, одержимо:
, (11)
. (12)
Якщо підставити (11) і (12) у рівність (10), тоді матимемо:
.
Якщо відняти від обох частин останньої рівності , а далі розділити на , тоді запишемо
Тепер обчислимо границі від обох частин, якщо :
(13)
Таким чином отримуємо систему диференціальних рівнянь для обчислення – ймовірностей переходу від стану до стану СМО з чергою, що має скінченне число місць в накопичувачі:
(14)
Якщо спостерігати СМО достатньо довгий час , тоді розв’язок системи (14) можна знайти, якщо позначити (фінальні ймовірності) у вигляді:
(15)
Система (15) є лінійною, однорідною, алгебраїчною системою з невідомими . ............