Случайные вектора

 

Оглавление

 

Функция распределения вероятностей двух случайных величин.. 2

Совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин   4

Условная функция распределения вероятностей.. 7

Условная плотность вероятности.. 7

Числовые характеристики двумерного случайного вектора. 8

Верхняя и нижняя границы корреляции и ковариации.. 10

Ковариация и независимость двух случайных величин.. 11

Ковариация и геометрия линий равного уровня плотности вероятности   13

Коэффициент корреляции.. 15

Коэффициент корреляции и расстояние. 17

Функция распределения вероятностей случайного вектора. 18

Плотность вероятности случайного вектора. 19

Многомерное нормальное распределение. 21

Характеристическая функция случайного вектора. 22

Функции от случайных величин.. 23

Распределение вероятностей функции одной случайной величины.. 24

Преобразование нескольких случайных величин.. 28

Хи - квадрат распределение вероятностей.. 30

Хи - квадрат распределение и распределение Максвелла по скоростям.. 33

Литература. 35

Функция распределения вероятностей двух случайных величин

В задачах со случайным исходом обычно приходится учитывать взаимодействие нескольких случайных величин. Это естественным образом приводит к понятию многомерных (векторных) случайных величин или совокупности нескольких случайных величин. Случайный вектор является третьим основным объектом изучения теории вероятностей (после случайного события и случайной величины). Целесообразно начать изучение случайных векторов с рассмотрения двухмерных векторов, свойства которых сравнительно простые и наглядные.

Совместной функцией распределения вероятностей (или двумерной функцией распределения вероятностей) случайных величин ,  (или случайного вектора ) называется функция

.                                 (50.1)

Следует иметь в виду, что  - вероятность события  - пересечения двух событий:  и . В записях вида (50.1) принято вместо символа  использовать запятую.

50.1. Рассмотрим основные свойства функции , следующие из ее определения.

1). , где  - функция распределения вероятностей случайной величины . Действительно,  - достоверное событие, поэтому . Аналогично , где  - функция распределения вероятностей случайной величины .

2). , поскольку события ,  - достоверные, следовательно их пересечение – достоверное событие и .

3). , поскольку событие  - невозможное и . Аналогично .

4).  - неубывающая функция аргумента , а также неубывающая функция аргумента .

5).  непрерывна справа по каждому аргументу.

50.2. Рассмотрим геометрическую интерпретацию функции . Пусть случайные величины ,  являются компонентами случайного вектора . Тогда результат каждого опыта по измерению случайного вектора  можно рассматривать как точку на плоскости, а функция  определяет вероятность попадания точки в часть плоскости: , выделенной на рис. 50.1 штриховкой.

Рис. 50.1. Геометрическая интерпретация функции .

Представим вероятность  - попадания случайного вектора  в прямоугольник , , , , рис 50.2, через функцию . Несложно определить, что

Рис. 50.2. К вычислению вероятности попадания в прямоугольник.

(50.2)

Пусть ,  - малые величины и функция  имеет первые производные по  и , а также вторую смешанную производную, тогда из (50.2) следует:

   

.                                (50.3)

Отсюда:

 .                (50.4)

Совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин

Пусть у функции  существуют производные по , , а также вторая смешанная производная. ............