Задача 1
В стержне постоянного сечения площадью А требуется:
1. Построить эпюру N.
2. Выписать выражение наибольшего по модулю нормального напряжения
3. Определить полное удлинение бруса
4. Определить потенциальную энергию бруса
Рис. 1. Расчетная схема
Исходные данные: а = 2,4 м; F = 18 кН; A = 10 см2; E = 120 ГПа;
Решение.
Система статически определима и может быть описана одним уравнением равновесия из условия.
-R - 2F + F + 3F + 2F = 0
R = 4F= 4*18 = 72 кН
При выборе знаков принято, что силы, вызывающие растяжение стержня, учитываются со знаком +, а сжимающие – со знаком "–".
2. Для построения эпюр разбиваем стержень на участки и применяем метод сечений, рассекая стержень в пределах каждого участка и, отбрасывая верхнюю часть.
Рис. 2. Разбивка стержня на участки
Отброшенные силы заменяем продольной силой N, уравновешивающей усилия на рассматриваемом участке. Из схемы видно, что для анализа усилий стержень нужно разбить на 4 участка.
Участок 1: 2F - N1= 0; N1 = 2F = 36 кН;
Участок 2: 2F +3F – N2 = 0; N2 = 5F = 90 кН;
Участок 3: 2F +3F + F – N3 = 0; N3 = 6F = 108 кН;
Участок 4: 2F +3F + F - 2F – N4 = 0; N4 = 4F = 72 кН
Из расчета видно, что стержень растянут на всех участках. По полученным значениям строим эпюру продольных сил, выполняя правило, по которому в точке приложения силы наблюдается скачок на величину этой силы.
Рис. 3. Эпюра N.
Нормальные напряжения s в поперечном сечении стержня при растяжении-сжатии определяются делением продольной силы в этом сечении на площадь сечения, с учетом знака.
Очевидно, что в стержне постоянного сечения наибольшая величина нормального напряжения будет наблюдаться на участке, в пределах которого действуют наибольшие внутренние усилия. В нашем случае это участок 3.
|s3| = |N3| / А3 = 108 / 10 = 10,8 кН/см2 = 108 МПа
Перемещения стержня от действия системы сил определяются как сумма перемещений от действия каждой силы в отдельности
Участок 1:
Dl1 = N1l1 / EA1 = 36* 2*2,4 / (1,2 * 105 * 10-3) = 1,44 мм
Участок 2:
Dl2 = Dl1 + Dl12 = 0,144 + N2 l2/EA2 = 1,44 + 90*3*2,4/(1,2*105*10-3) = 6,84 мм;
Участок 3:
Dl3 = Dl2 + Dl23 = 0,684 + N3 l3/EA3 =
6,84+ 108 * 2 * 2,4 / (1,2 * 105 * 10-3) = 11,16 мм;
Участок 4:
Dl4 = Dl3 + Dl34 = 1,116+N4 l4/EA4 =
11,16 + 72 * 2 * 2,4 / (1,2 * 105 * 10-3) = 14,04 мм;
Потенциальную энергию каждого участка при растяжении можно определить по формуле
,
Участок 1:
U1 = N12l1 / 2EA = 362 * 2*2,4/ (2*1,2 * 105 * 10-3) = 25,92 кДж
Участок 2:
U2 = N22l2 / 2EA = 902*3*2,4/(2*1,2*105*10-3) = 243,00 кДж;
Участок 3:
U3 = N32 l3/ 2EA = 1082 * 2 * 2,4 / (2*1,2 * 105 * 10-3) = 233,28 кДж;
Участок 4:
U4 = N24 l4/EA = 722 * 2 * 2,4/ (2*1,2 * 105 * 10-3) = 103,6800 кДж;
Суммарная потенциальная энергия составит:
U = SUi = 25,92+243+233,28+103,68 = 605,88 кДж;
Задача 2
Для бруса, показанного на рис. 1, нагруженного силами F и Q, требуется:
1. Построить эпюру продольных сил
2. Составить в раскрытом виде выражения перемещения сечений в точках приложения сил F и Q
3. Построить эпюры продольных сил N для случая, когда средний участок бруса нагревается на t ° и силовое нагружение отсутствует
Рис. 1. Расчетная схема
Исходные данные: а = 2,4 м, F =18 кН, Q =26 кН ∆t = 26°С; A = 10 см2; E = 120 ГПа; a = 10-6;
Решение.
Система один раз статически неопределима, потому что в заделках имеется две неизвестные реакции опор, которые не могут быть определены одним уравнением равновесия
RA - F - Q + RB = 0
Из схемы видно, что нижняя часть стержня сжимается, а верхняя - растягивается. ............
