Лекция. Статистическая механика классических систем.

План:

1.  Критерий применимости классического приближения. Каноническое распределение и статистические интегралы.

2.  Распределения Максвелла и Максвелла – Больцмана для идеального классического газа.

3.  Статистический интеграл для идеального классического газа.

      1.Перейдем к анализу применения построенного канонического и большого канонического формализма, который начнем с исследования классических систем. Заметим, что первоначально аппарат статистической механики разрабатывался именно применительно к классическим системам, т.е. к системам большого числа частиц, микроскопическое описание которых основывалось на аппарате классической механики.

      Вообще говоря, универсального критерия применимости классического приближения не существует, а они формируются применительно к каждому отдельному виду микроскопического движения. В качестве примера рассмотрим трансляционное движение. Такой тип наиболее применим к моделям идеальных одноатомных газов, для которых рассматривается именно поступательное движение.

      Пусть состояние термодинамической системы на микроскопическом уровне задано волновой функцией . Тогда распределение плотности в координатном пространстве  в общем случае оказывается непрерывным, в то время как в представлении классической механики, соответствующем набору N материальных точек в объеме V, распределение плотности дискретно. Тогда, переход к классическому описанию соответствует случаю, при котором непрерывное (размазанное) распределение  распадается на волновые накаты или сгустки, которые можно рассматривать как квантовый аналог классических частиц.

Условием такого “разрушения” непрерывной структуры на дискретную является требование .      (8.1)

Здесь  - длина волны де-Бройля,  - характерные длины в рассматриваемом случае.

      В качестве величины  можно выбрать либо линейный размер системы L, тогда (8.1) заменяется естественным требованием:

,      (8.2а)

классического движения частицы в потенциальном ящике , которое выполняется автоматически в предельном случае .

      Более жесткое условие классичности термодинамической системы формулируется в случае, когда в качестве величины  выбирается расстояние  между частицами. В этом случае условие (8.1) принимает вид:

,      (8.2б)

которое физически интерпретируется как условие распадения системы на пекеты, размеры которых меньше расстояния между ними.

      Заметим, что вследствие движения частиц критерий (8.2б) выполняется не всегда. В частности, этот критерий нарушается при “столкновении” частиц. Поэтому потребуем вычисления условия (8.2б) в среднем:

      (8.3)

Заметим, что условие (8.3) рассматривается как предельный случай, когда сближение волновых функций пекетов на расстояния , при которых становятся существенными квантовые корреляционные эффекты, считаются сравнительно редкими.

      Используя классические распределения Максвелла, известное из общего курса физики (его строгое доказательство на основе распределений Гиббса будет получено целое), получаем:

.

Заменяя  на единицу, и подставляя результат в (8.3), получаем:

.       (8.4)

Записывая условие (8.4) относительно температуры, получаем:

     (8.5)

Условие (8.5), являющееся условием классичности системы N материальных точек, называют условием статистической невырожденности N тел по отношению к поступательному (трансцендентному) движению.

      В случае иных типов движения (колебания системы в целом, колебания атомов в молекулах, вращательные движения, электронные переходы и т.д.) формулируются другие условия пластичности, не связанные с числом частиц в системе. ............