Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием С.А. Клоков, Омский государственный университет, кафедра математического анализа 1. Введение. Обозначения. Постановка задачи
    Пусть - стационарная (в узком смысле) последовательность случайных величин (с.в.), , - -алгебры, порожденные семействами , . Говорят, что удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания (РСП), если коэффициент перемешивания
    
    стремится к нулю при .
    Как обычно, через обозначим дисперсию суммы , а через - нормальную с.в. с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Символы и обозначают сходимость по распределению и равенство распределений с.в., ?? · ?? - норму в L2, 1(A) - индикатор множества A. Через обозначим срезку , через - дисперсию суммы . Вместе с последовательностью будет рассматриваться последовательность таких с.в., что и независимы. В случае, если функции f и g связаны соотношением , где const - абсолютная константа, будем писать , а если и , то .
    Будем считать известными определения правильно меняющихся и медленно меняющихся функций (см., например, [5]).
    Говорят, что последовательность с.в. притягивается к нормальному закону, если при некотором выборе нормирующих констант An и имеет место соотношение , . В случае, если с.в. имеют конечные вторые моменты, дисперсия суммы и говорят, что к последовательности применима центральная предельная теорема (ЦПТ).
    Первые предельные теоремы для слабо зависимых величин были доказаны И.А. Ибрагимовым в начале 60-х годов. Условие РСП дает возможность доказывать результаты о сходимости к нормальному закону без каких-либо предположений о скорости перемешивания (стремления к нулю). В этом случае будем говорить, что справедливо строгое притяжение к нормальному закону. В [?] доказана
    Теорема 1. Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, , для некоторого и . Тогда к последовательности применима ЦПТ.
    Для последовательности независимых одинаково распределенных с.в. ЦПТ справедлива, если потребовать существование лишь вторых моментов. Исходя из этого, в [1] высказана
    Гипотеза (Ибрагимов, 1965).
    Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, и . Тогда к последовательности применима ЦПТ.
    Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных с.в., не имеющих вторых моментов. Тогда распределение принадлежит области притяжения нормального закона тогда и только тогда, когда функция является ММФ. Иосифеску сформулировал следующее предположение. Гипотеза (Ибрагимов-Иосифеску).
    Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП с , и H(x) - ММФ. Тогда притягивается к нормальному закону.
    Гипотезы Ибрагимова и Ибрагимова-Иосифеску не доказаны и не опровергнуты до сих пор.
    Хорошо известны два достаточных условия для медленного изменения H(x): существование конечного второго момента () и правильное изменение хвоста распределения одного слагаемого ( - ПМФ порядка -2). В работе [4] доказана
    Теорема 2. Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, причем . ............