МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ІНФОРМАТИКИ

Курсова робота

по чисельним методам

на тему:”Стійкість СЛАР”

Суми 2005

Зміст

1. Постановка задачі.

2. Теоретична частина.

а) характеристичний многочлен

в) метод Левeр’є

б) критерій Калашнікова

Текст програми

Приклад

Список літератури

Постановка задачі

Дана система лінійних алгебраїчних рівнянь. Необхідно дослідити її на стійкість. Знайти характеристичний многочлен методом Левур’є. Зробити відповідні висновки щодо її стійкості.

Теоретична частина

Характеристичний многочлен

Нехай дана квадратна матриця А=[aij]. Розглянемо лінійне перетворення

у=Ах                                                                                              (1)

де х,у n-вимірні вектори (стовпові матриці) деякого, взагалі кажучи, комплексного n-вимірного простору.

Ненульовий вектор називається власним вектором даної матриці (або визначуваного нею лінійного перетворення), якщо в результаті відповідного лінійного перетворення цей вектор переходить в колінеарний йому, тобто якщо перетворений вектор відрізняється від початкового тільки скалярним множником.

Інакше кажучи, вектор х¹0 називається власним вектором матриці А, якщо ця матриця переводить вектор х у вектор

Ах=lx                                                                                            (2)

Число l, стоїть в рівності (2), називається власним значенням, або характеристичним числом, матриці А, відповідним даному власному вектору х.

Теорема 1. В комплексному векторному просторі кожне лінійне перетворення (матриця) має щонайменше один дійсний або комплексний власний вектор.

Доведення. нехай А ¾ матриця лінійного перетворення. Власні вектори матриці А є ненульовими розв'язками матричного рівняння

Ах=lх

або

(А- lЕ)х=0                                                                                               (3)

де матриця (А- lЕ) називається характеристичною матрицею. Рівняння (3) представляє собою лінійну однорідну систему, яка має ненульові розв'язки тоді і лише тоді, коли визначник системи рівний нулю, тобто повинна виконуватися умова

det(А- lЕ)=0.                                                                                 (4)

Визначник (4) називається характеристичним (віковим) визначником матриці А, а рівняння (4) називається характеристичним (віковим) рівнянням матриці А. В розгорненому вигляді характеристичне рівняння (4) запишеться таким чином:

 а11-l а12 ... а1n

 а21 а22-l ... а2n =0

 an1 an2 ann-l

або

ln-d1ln-1+d2ln-2- ...+(-1)n-1dn-1l+(-1)ndn=0. (5)

Поліном, що стоїть в лівій частині рівняння (5), називається характеристичним поліномом матриці А. Коефіцієнти його di(i=1,2,…,n) визначаються за наступними правилами. Коефіцієнт d1=.

Це число називається услід матриці А і позначається так: d1=Sp А. Коефіцієнт d2 є сума всіх діагональних мінорів другого порядку матриці А. Взагалі, коефіцієнт dk є сума всіх діагональних мінорів k-го порядку матриці А. Зрештою, вільний член dn рівний визначнику матриці А:

dn=det А.

Характеристичне рівняння (5) є алгебраїчне рівняння n-ої степені відносно l і, отже, як доводиться в алгебрі, має щонайменше один дійсний або комплексний корінь. ............