Световод: уравнение, типы волн в световодах. Критические длины и частоты
1. Уравнение передачи по световоду
Рассмотрим волоконный световод без потерь двухслойной конструкции, приведенный на рис. 1
Для описания поведения электромагнитного поля в сердечнике (0<r<a) и в оболочке (a<r<b) необходимо использовать различные функции. Исходя из физической сущности процессов, функции внутри сердечника при r=0 должны быть конечными, а в оболочке описывать спадающее поле.
Для определения основных параметров световодов (критической частоты, волнового числа, скорости передачи и др.) воспользуемся основными уравнениями электродинамики – уравнениями Максвелла, которые для диэлектрических волноводов имеют вид:
(1)
Уравнения Максвелла справедливы для любой системы координат. Для направляющих систем эти уравнения наиболее часто применяются в цилиндрической системе координат, ось Z которой совместим с оптической осью световода:
(2)
Для решения инженерных задач электродинамики необходимо знать продольные составляющие полей Еz и Hz. Их можно получить следующим образом. Преобразуем первое из уравнений Максвелла (1) к виду
.
Тогда, используя соотношение , а также учитывая, что divH=0, получим
,
где - волновое число световода.
Поступая аналогично со вторым уравнением Максвелла (2), получим .
Отсюда следует, что продольные электромагнитные составляющие векторов Ez и Hz удовлетворяют уравнениям
Где – оператор Лапласа.
,
Тогда для продольных составляющих Ez и Hz в цилиндричееской системе координат получим дифференциальные уравнения второго порядка:
(3)
Допустим, что напряженность электромагнитного поля в направлении оси Z меняется по экспоненциальному закону, т.е. , где А – любая составляющая векторов Е или Н; j- коэффициент распространения. Тогда первая и вторая производные определятся
.
Для составляющей Еz
.
Подставляя полученное значениe в уравнения (3), получим
Введем обозначение – поперечное волновое число световода. Тогда для сердечника световода имеем
(4)
где (без учета затухания) – поперечное волновое число сердечника; k1 – волновое число сердечника с коэффициентом преломления n1, .
Решение уравнений (4) для сердечника следует выразить через цилиндрические функции первого рода – функции Бесселя, имеющие конечные значения при r=0. Поэтому можно написать
(5)
где Аn и Вn – постоянные интегрирования.
Воспользовавшись уравнениями (2), рассмотрим связь между поперечными и продольными компонентами поля. В частности, для составляющей Еr имеем
Возьмем производную от второго выражения по
Учитывая, что , а , то
Тогда
или
Подставим данное выражение в уравнение для Еr
или
.
Окончательно получим .
Аналогично можно установить связь между продольными и другими поперечными компонентами поля
Воспользовавшись уравнениями (5) возьмем соответствующие производные
Тогда выражения для поперечных составляющих электрического и магнитного полей в сердечнике световода, полагая, что , имеют вид (множитель не пишем):
(6)
Для оболочки имеем аналогичную систему уравнений:
где (без учета затухания) – поперечное волновое число оболочки световода; k2 – волновое число оболочки с коэффициентом преломления n2, .
Для решения данных уравнений, исходя из условия, что при поле должно стремиться к нулю, следует использовать цилиндрические функции третьего рода – функции Ганкеля:
где Сn, Dn – постоянные интегрирования.
Тогда для поперечных составляющих поля в оболочке можно написать следующие выражения:
(7)
Постоянные интегрирования Аn, Вn, Сn, Dn могут быть определены на основании граничных условий. ............
