Контрольная работа

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций

1. Таблица производных

Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.

1. .

Найдем производную, когда .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как

, а , то

Отсюда  и ,

то есть . Если , результат тот же.

2. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то

.

Отсюда  и , то есть .

3. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то

.

Отсюда  и , то есть .

4. .

По определению . Будем дифференцировать  как частное:

, то есть .

5. .

По определению . Будем дифференцировать  как частное:

, то есть .

6. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то

.

Отсюда  и

,

то есть . Здесь была использована формула для второго замечательного предела.

7. .

Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим : . Значит, .

8. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то . Отсюда

 и , то есть .

Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.

9. .

Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим : . Значит, .

Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если , то .

Теорема. Если для некоторой функции  существует обратная ей , которая в точке  имеет производную не равную нулю, то в точке  функция  имеет производную  равную , то есть .

Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента: . Так как функция  имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть , откуда . Значит, .

Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.

10. .

В данном случае обратной функцией будет . Для нее . Отсюда

,

то есть .

11. .

Так как

, то . .

В данном случае обратной функцией будет . Для нее

.

Отсюда , то есть .

13. .

Так как

, то .

2. Производная сложной функции

Пусть дана функция  и при этом . Тогда исходную функцию можно представить в виде . Функции такого типа называются сложными. Например, .

В выражении  аргумент  называется промежуточным аргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как они охватывают практически все виды существующих функций.

Теорема. Пусть функция  имеет производную в точке , а функция  имеет производную в соответствующей точке . Тогда сложная функция  в точке  также будет иметь производную равную производной функции  по промежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по , то есть .

Для доказательства дадим приращение аргументу , то есть от  перейдем к . Это вызовет приращение промежуточного аргумента , который от  перейдет к . ............