Содержание
Введение. 2
1. Характеры.. 3
1.1 Определение характера. Основные свойства характеров. 3
1.2 Суммы характеров. Соотношение ортогональности. 6
1.3 Характеры Дирихле. 8
2. L-функция Дирихле. 13
3. Доказательство теоремы Дирихле. 29
Введение Простые числа расположены в натуральном ряде весьма неравномерно.
Целью данной работы является доказательство следующей теоремы о простых числах в арифметической прогрессии.
Теорема Дирихле. Если разность и первый член арифметической прогрессии есть взаимно простые натуральные числа, то она содержит бесконечное множество простых чисел.
Пусть
mn + l, n=1,2, …,
прогрессия, удовлетворяющая условию теоремы.
Условие (m, l)=1, наложенные на числа m и e в формулировке теоремы, естественно, поскольку в случае, когда d=(m, l)>1, все члены прогрессии делятся на d и поэтому не являются простыми числами.
Сформулированная теория была впервые высказана Л. Эйлером в 1783 г. В 1798 г. А. Лежандр опубликовал доказательство для четных m, использовавшее, как выяснилось позднее, одну ошибочную лемму.
Полностью доказал теорему в 1837–1839 гг. Петер Густав Лежен-Дирихле (1805–1859), немецкий математик, автор трудов по аналитической теории чисел, теории функций, математической физике.
В 1837 г. вышли две работы Дирихле, посвященные теореме о простых числах в арифметической прогрессии. Они содержали формулировку теоремы в общем виде, однако доказательство приводилось только для случая, когда разность прогрессии есть простое число. В конце второй работы содержится построение характеров для произвольного модуля и некоторые утверждения о том, как можно доказать утверждение L (1,χ)¹0 для неглавных характеров x в одном случае. В 1839 г. Дилихле опубликовал полное доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии. С тех пор она носит его имя.
1. Характеры 1.1 Определение характера. Основные свойства характеров
Характером (от греческого хараæτήp-признак, особенность) χ конечной абелевой группы G называется не равная тождественно нулю комплекснозначная функция, определенная на этой группе и обладающая тем свойством, что если, АÎG и BÎG
χ (АВ)= χ (А) χ(В).
Обозначим через Е единичные элементы в группе G и через А-1 обратный элемент для АÎG
Характеры группы G обладают следующими свойствами:
1. Если Е-единица группы, то для каждого характера χ
χ (Е)=1 (1.1)
Доказательство. Пусть для каждого элемента АÎG справедливо неравенство
c1(А)=c(АЕ)= c(А) χ (Е)
Из этого равенства получим, что c (Е)¹0. Теперь из равенства
c (Е)= c (ЕЕ)= c (Е) c (Е)=1
следует равенство (1.1)
2. c (А) ¹0 для каждого АÎG
Действительно, если бы χ (А) =0 для некоторого АÎG, то
c (А) χ (А-1)= c (АА-1)= χ (Е)=0,
а это противоречит свойству 1.
3. Если группа G имеет порядок h, то Аh=Е для каждого элемента АÎG Следовательно,
1= χ (Е)= χ (Аh)= χ (А)h,
то есть χ (А) есть некоторый корень степени h из единицы.
Характер χ1, обладающий свойством χ1(А)=1 для каждого элемента АÎG, называется главным характером группы G. ............