Федеральное агентство по образованию

Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования

 

Вятский государственный гуманитарный университет

 

Математический факультет

 

Кафедра алгебры и геометрии

 

Выпускная квалификационная работа

 

«Целочисленные функции»

Выполнила: студентка
V курса математического факультета Мошкина Т.Л.

Научный руководитель: старший преподаватель Семёнов А.Н.

Рецензент:

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой                                 Вечтомов Е.М.

«   »

Декан факультета                          Варанкина В.И.

«   »

 

Киров

2005

Содержание

Введение. 3

Глава 1. Целочисленные функции (теоретические факты) 4

I.    Определения. 4

II.   Связь с непрерывными функциями. 5

III.     Количество целых чисел в интервалах: [a, b], [a, b), (a,b), (a, b] 7

IV.     Спектры. 8

V.   ‘Mod’: бинарная операция. 9

Глава 2. Целочисленные функции (применение к решению задач) 11

Литература. 28

Введение

Целые числа составляют костяк дискретной математики, и на практике часто приходится округлять дробные или произвольные вещественные числа до целых.

До недавнего времени для обозначения целой части вещественного числа  использовалась запись . Но в начале 60-х годов Кеннет Э.Айверсон предложил в этом случае писать  и дал удачное название этому обозначению: «пол». Для обозначения верхнего целого он предложил запись  и назвал её «потолком», а для квадратных скобок нашёл новое применение. Предложенная Айверсоном нотация оказалась настолько удачной, что за рубежом старое обозначение уже практически не встречается. С появлением русского издания книги Р.Грэхем, Д.Кнут, О.Паташник «Конкретная математика» эта нотация становится популярной и в России.

Цель данной работы — получить представление и навыки в обращении с «полом» и «потолком».

Задачи работы:

1.  Осветить теоретические аспекты данной темы:

·  Дать определение функций «пол», «потолок»;

·  Рассмотреть некоторые свойства этих функций;

·  Установить связь с непрерывными функциями;

·  Подсчитать количество целых чисел в заданных интервалах;

·  Рассмотреть определение спектра и его свойства;

·  Дать определение бинарной операции «mod» и рассмотреть приложение этой операции;

·  Рассмотреть на примере, как можно вычислить сумму, содержащую «полы».

2.  Показать, как теория применяется на практике при решении задач.

Глава 1. Целочисленные функции (теоретические факты)

I.  Определения.

Договоримся через  обозначать множество всех натуральных чисел, т.е. множество всех целых положительных чисел. Определим для любого вещественного числа x функции наибольшего и наименьшего целого:

ëxû — наибольшее целое, меньше или равное x;

éxù — наименьшее целое, больше или равное x.

Из определения ясно, что , . ............