Курсова робота
Випадковий процес в математиці
Зміст
Введення
1. Визначення випадкового процесу і його характеристики
2. Марковські випадкові процеси з дискретними станами
3. Стаціонарні випадкові процеси
4. Ергодична властивість стаціонарних випадкових процесів
Література
Введення
Поняття випадкового процесу уведено в XX сторіччі й пов'язане з іменами А.Н. Колмогорова (1903-1987), А.Я. Хинчина (1894-1959), Е.Е. Слуцького (1880-1948), Н. Вінера (1894-1965). Це поняття в наші дні є одним із центральних не тільки в теорії ймовірностей, але також у природознавстві, інженерній справі, економіці, організації виробництва, теорії зв'язку. Теорія випадкових процесів належить до категорії найбільше що швидко розвиваються математичних дисциплін. Безсумнівно, що ця обставина значною мірою визначається її глибокими зв'язками із практикою. XX століття не могло задовольнятися тим ідейною спадщиною, що було отримано від минулого. Дійсно, у той час, як фізика, біолога, інженера цікавив процес, тобто зміна досліджуваного явища в часі, теорія ймовірностей пропонувала їм як математичний апарат лише засобу, що вивчали стаціонарні стани. Для дослідження зміни в часі теорія ймовірностей кінця XIX - початку XX століття не мало ні розроблених приватних схем, ні тим більше загальних прийомів. А необхідність їхнього створення буквально стукала у вікна й двері математичної науки. Вивчення броунівського руху у фізику підвело математиків до порога створення теорії випадкових процесів.
Вважаю за необхідне згадати ще про дві важливі групи досліджень, початих у різний час і по різних приводах.
По-перше, ця роботи А.А. Маркова (1856-1922) по вивченню ланцюгових залежностей. По-друге, роботи Е.Е. Слуцького (1880-1948) по теорії випадкових функцій. Обоє цих напрямку грали дуже істотну роль у формуванні загальної теорії випадкових процесів.
Для цієї мети вже був накопичений значний вихідний матеріал, і необхідність побудови теорії як би носилися в повітрі.
Залишалося здійснити глибокий аналіз наявних робіт, висловлених у них ідей і результатів і на його базі здійснити необхідний синтез.
1. Визначення випадкового процесу і його характеристики
Визначення: Випадковим процесом X(t) називається процес, значення якого при будь-якому значенні аргументу t є випадковою величиною.
Інакше кажучи, випадковий процес являє собою функцію, що у результаті випробування може прийняти той або інший конкретний вид, невідомий заздалегідь. При фіксованому t=t0 X(t0) являє собою звичайну випадкову величину, тобто перетин випадкового процесу в момент t0.
Приклади випадкових процесів:
чисельність населення регіону із часом;
число заявок, що надходять у ремонтну службу фірми, із часом.
Випадковий процес можна записати у вигляді функції двох змінних X(t,?), де ?€?, t€T, X(t, ?) € ? і ? - елементарна подія, ? - простір елементарних подій, Т - множина значень аргументу t, ? - множина можливих значень випадкового процесу X(t, ?).
Реалізацією випадкового процесу X(t, ω) називається невипадкова функція x(t), у яку перетворюється випадковий процес X(t) у результаті випробування (при фіксованому ω), тобто конкретний вид, прийнятий випадковим процесом X(t), його траєкторія.
Таким чином, випадковий процес X(t, ω) сполучає в собі риси випадкової величини й функції. ............
