КУРСОВА РОБОТА

"Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора"

Запоріжжя 2010

1.  Поняття лінійного оператора. Алгебраїчні операції над операторами

Нехай  і  два різних лінійних простору над полем комплексних чисел. Відображення , яке ставляє у відповідність кожному вектору  простору  деякий вектор  простору , будемо називати оператором , діючий із  в . Якщо  є образом вектора , то пишуть .

Оператор  називається лінійним, якщо виконуються дві умови:

1.  (властивість адитивності);

2.  (властивість однорідності);

Тут довільно взяті вектори простору , довільно комплексне число.

Позначимо через  множина всіх лінійних операторів, діючих із  в . Два лінійних оператора  і  будемо вважати рівними, якщо для будь – якого вектору  простору . Визначимо тепер операцію додавання із множини  і операцію множення оператора на число. Під сумою двох лінійних операторів  і  розуміють оператор  такий, що для будь – якого вектора  простору

.

Під добутком лінійного оператора  на комплексне число  розуміють оператор  такий, що для любого вектора  простору

Неважко переконатися в тому, що оператори  і  лінійні.

Оператор  називається нульовим, якщо для будь – якого вектору  простору  .

Щоб переконатися, що оператор  лінійний і, як наслідок, належності множині , потрібно показати, що для довільно взятих векторів  простору  мають місце рівності  і . Так як будь – якому вектору простору  оператор  ставить у відповідність вектор , то  . Як наслідок, - лінійний оператор.

Введемо поняття оператора, протилежному лінійному оператору . Оператор –  називається протилежним оператором , якщо . Неважко перевірити, що для довільно взятого оператору  із  і що  лінійний оператор.

Введені на множині  лінійні операції над її елементами (операторами) мають такі властивості:

1.,

2. ,

3. існує один лінійний оператор  такий, що для будь – якого лінійного оператора  із  

4. для кожного оператора  існує єдиний оператор –  такий, що .

Із перелічених властивостей лінійних операцій над елементами множини  випливає, що множина  по відношенню до операції суми операторів є адитивною абелевою групою. Операція множення на число має такі властивості  .

Всі перелічені властивості лінійних операцій над елементами множини  дозволяє стверджувати, що множина  є лінійним простором над полем комплексних чисел. Звідси випливає, що можна ставити питання про розмірність цього простору, про його базиси, підпросторів.

2.  Лінійні перетворення (оператори) із простору V в V

В подальшому будемо розглядати лінійні оператори, діючі із лінійного простору  в той самий простір. Ці оператори називають також перетвореннями із  в .

Назвемо тотожнім (одиничним) оператор  такий, що для любого вектора  простору . Очевидно, , , для любих . З цього випливає, оператор  – лінійний і, тому, . Неважко упевнитися в тому, що оператор  – єдиний. Дійсно, якщо припустити що, крім тотожного оператора  з , існує ще один тотожний оператор , тоді для будь-якого  будемо мати , , очевидно, , тобто .

Введемо операцію множення операторів. Нехай  та  – два будь-яких лінійних оператора з , а  – довільний вектор простору . ............