БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра ЭТТ

РЕФЕРАТ

На тему:

«Волновые процессы и элементы векторного анализа»

МИНСК, 2008

1. Введение. Волновые процессы.

При взаимодействии среды с физическими полями и упругими  материальными объектами, в средах возникают возмущения. Одним из таких возмущений являются волны.

Волны представляют собой изменения состояния среды (возмущения), распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию, без переноса вещества. Математически процесс распространения волн  описывается с помощью волнового уравнения. В наиболее общем виде волновое уравнение записывается:

      (1.)

Где t-время; x, y, z –пространственные декартовые координаты, W=W(x,y,z,t)-функция возмущения среды в точке с координатами x,y,z в момент времени t, с- параметр, характеризующий скорость, которая в предельном случае достигает скорости света, - оператор Д’Аламбера (даламбериан); Δ- оператор Лапласа (лапласиан).

Частными видами волнового уравнения  является двухмерное и одномерное волновые уравнения. Волновое уравнение  допускает разделение переменных по координатам и времени:  W=W(x, y, z,) φ(t). В представленном виде волновое уравнение называют неоднородным, т.к. в его правой части стоит заданная функция координат и времени, т.е.  W=f(x,y,z,t).

Для рассмотрения задач квантовой механики, изучающей законы движения частиц в области микромира (в масштабах- 10-6-10-13 см. со скоростями как меньше v<<c, так и сравнимых со скоростью света  v≈c),  в 1926 году Эрвином Шредингером было предложено новое уравнение. Он в волновое уравнение ввел постулат де Бройля λ=h/p. Это известное сегодня уравнение Шредингера:

                         (2.)

Где h- постоянная планка; m- масса частицы; ψ- волновая функция частицы, U- потенциальная энергия частицы, - оператор Лапласа.

Строгое решение уравнения (2) сегодня осуществлено только для атома водорода, что позволяет считать вычисленные при решении уравнения Шредингера для атома водорода волновые функции точными. Но уже для двух электронного атома, имеющего электронную конфигурацию 1S2 точное решение уравнения Шредингера принципиально невозможно. Запишем выражение для потенциальной энергии атома гелия:

               (3.)

Здесь Z=2, заряд ядра; первые два числа учитывают притяжение первого и второго электрона ядром, третий член выражает часть потенциальной энергии, обусловленной взаимным отталкиванием электронов. Для многоэлектронных  атомов с числом электронов больше двух точное решение уравнения Шредингера невозможно, поскольку в гамильтониан H полной энергии атома с n электронами и соответствующим зарядом ядра:

        (4.)

входят не только оператор кинетической энергии  и оператор потенциальной энергии для электронов, притягиваемых ядром, но и оператор энергии отталкивания  электронов друг от друга. Так как последний оператор имеет противоположный знак, исключается возможность разделения переменных и становится принципиально невозможным точное решение уравнения Шредингера для многоэлектронных атомов.

Все дальнейшие попытки рассмотрения квантово механических многоэлектронных систем основано на использовании различных приближений методов и моделей. ............