МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ

Курсовая работа

по дисциплине «Численные методы»

на тему:

«Вычисление характеристических многочленов, собственных значений и собственных векторов»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сумы, 2005

Содержание

 

СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ

ВВЕДЕНИЕ

МЕТОД ДАНИЛЕВСКОГО

УКАЗАНИЯ ПО ПРИМЕНЕНИЮ ПРОГРАММЫ

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

АНАЛИЗ ПРОГРАММЫ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Теоретические данные

  Введение

Большое количество задач с механики, физики и техники требует нахождение собственных значений и собственных векторов матриц, т.е. таких значений λ, для которых существует нетривиальное решение однородной системы линейных алгебраических уравнений . Тут А-действительная квадратичная матрица порядка n с элементами ajk, а --вектор с компонентами x1, x2,…, xn Каждому собственному значению λi соответствует хотя бы одно нетривиальное решение. Если даже матрица А действительная, ей собственные числа (все или некоторые) и собственные векторы могут быть недействительными. Собственные числа являются корнями уравнения , где Е - единичная матрица порядка n

или

Данное уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А. Собственным векторам , которым соответствует собственному значению λi, называют ненулевое решение однородной системы уравнений . Таким образом, задача нахождения собственных чисел и собственных векторов сводится к нахождению коэффициентов характеристического уравнения, нахождению его корней и нахождению нетривиального решения системы.

Метод Данилевского

Простой и изысканный метод нахождения характеристического многочлена предложил А.М.Данилевский. Рассмотрим идею метода. Рассмотрим матрицу A

Для которой находится характеристический многочлен, при помощи подобных преобразований преобразуется к матрице

,

которая имеет нормальную форму Фробениуса, то есть матрица имеет в явном виде в последнем столбце искомые коэффициенты характеристического уравнения. Т. к. подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, а

, то и .

Поэтому для обоснования метода достаточно показать, каким образом из матрицы A строится матрица P.

Подобные преобразования матрицы A к матрице P происходят последовательно. На первом шаге матрица А преобразовывается к подобной до неё матрице А(1), в которой предпоследний столбец имеет необходимый вид. На втором шаге матрица А(1) преобразовывается на подобную к ней матрицу А(2), в которой уже два предпоследних столбца имеют необходимый вид, и т.д.

На первом шаге матрица А умножается справа на матрицу

и слева на матрицу ей обратную

Первый шаг даёт

,

где

На втором шаге матрица А(1) умножается справа на матрицу

и слева на обратную к ней матрицу

Очевидно, что элементы матрицы

.

Это означает, что два предпоследних столбца матрицы А(2) имеют необходимый вид. ............