Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры
     I.Координаты центра тяжести.
    
    Пусть на плоскости Oxy дана система материальных точек
    P1(x1,y1); P2(x2,y2); ... , Pn(xn,yn)
    c массами m1,m2,m3, . . . , mn.
    Произведения ximi и yimi называются статическими моментами массы mi относительно осей Oy и Ox.
    Обозначим через xc и yc координаты центра тяжести данной системы. Тогда координаты центра тяжести описанной материальной системы определяются формулами:
    
    
    Эти формулы используются при отыскании центров тяжести различных фигур и тел.
     1.Центр тяжести плоской фигуры.
    Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1(x), y=f2(x), x=a, x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать постоянной и равной ? для всех частей фигуры.
    Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1, . . . , x=xn=b на полоски ширины ?x1, ?x2, . . ., ?xn. Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотность ?. Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис.1) с основанием ?xi и высотой f2(?)-f1(?), где ?, то масса полоски будет приближенно равна
    (i = 1, 2, ... ,n).
    Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника:
    
    Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:
    
    Переходя к пределу при , получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:
    
    Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно, координаты центра тяжести не зависят от плотности ? фигуры (в процессе вычисления ? сократилось). 2. Координаты центра тяжести плоской фигуры
    В предыдущей главе указывалось, что координаты центра тяжести системы материальных точек P1, P2, . . ., Pn c массами m1, m2, . . ., mn определяются по формулам
    .
    В пределе при интегральные суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, таким образом получаются точные формулы для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры:
    
    (*)
    Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую, постоянную во всех точках плотность ?.
    Если же поверхностная плотность переменна:
    
    то соответствующие формулы будут иметь вид
    
    
    Выражения
    
    и
    
    называются статическими моментами плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox.
    Интеграл выражает величину массы рассматриваемой фигуры.
     3.Теоремы Гульдена. Теорема 1. Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги. Теорема 2. Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.
    
    II.Примеры.
    
    1)Условие: Найти координаты центра тяжести полуокружности X2+Y2=a2, расположенной над осью Ox.
    Решение: Определим абсциссу центра тяжести: ,
    
    Найдем теперь ординату центра тяжести:
    
    2)Условие: Определить координаты центра тяжести сегмента параболы y2=ax, отсекаемого прямой, х=а (рис. ............