Міністерство освіти і науки України

Національний технічний університет

“ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ"

Кафедра “Обчислювальної техніки та програмування"

Реферат з курсу “Численные методы"

Тема: “Вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы”

Виконав:

студент групи

Перевірив:

Харків

Содержание

 

Введение

1. Вычисление определенных интегралов

2. Построение квадратурных формул с плавающими узлами

Список использованных источников

 

Введение

Задача вычисления определенного интеграла в случаях, когда невозможно аналитически получить первообразные, может быть решена с помощью квадратурных формул.

Основная идея построения квадратурных формул заключается в том, что вычисление интеграла (площади) заменяется выражением, в котором используются некоторые значения подынтегральной функции. В качестве квадратурного выражения обычно выбирают взвешенную сумму значений подынтегральной функции.

 

1. Вычисление определенных интегралов

Количество параметров квадратурного выражения тесно связано со степенью подынтегральной функции, если последняя может быть описана степенным полиномом ограниченной степени. В общем случае это невозможно, например, когда подынтегральная функция терпит разрыв.

Для устранения особенности интегрируемой функции, последнюю представляют произведением весового сомножителя, включающего в себя характерную особенность, и части подынтегральной функции, которая после исключения особенности может представляться степенным многочленом.

Возможность представления подынтегральной функции полиномом позволяет оценить минимально необходимое число параметров в квадратурной формуле, исходя из критерия получения по ней абсолютно точного значения интеграла. Так, для подынтегральной функции, представленной полиномом нулевой степени, вычисление площади в интервале [a, b] достаточно одного значения функции (площадь прямоугольника). Для полинома первой степени - два значения (площадь трапеции). Для второй степени - три, и т.д. Последнее следует из того, что через (n+1) точку можно провести единственную кривую n-й степени.

Параметрами квадратурных формул являются коэффициенты при значениях полиномиальной подынтегральной функции и значения независимой переменной, при которых вычисляется подынтегральная функция.

где - параметры квадратурной формулы,

 - функция с выделенной особенностью,

 - весовая функция, включающая особенность.

Для подынтегральных функций без особенностей p (x) =1.

Квадратурные формулы строятся для пределов интегрирования  и . Замена пределов интегрирования  на  или  осуществляется линейным преобразованием, которое выше было уже рассмотрено.

Построение любой квадратурной формулы начинается с решения вопроса о классе подынтегральных функций, для которых формула будет абсолютно точна. Если выбраны функции степенного базиса, то число параметров, которое необходимо ввести в квадратурную формулу, равно наивысшей степени n базисной функции, увеличенной на единицу.

Если точки, в которых вычисляются значения подынтегральной функции, определены условиями удобного положения или простотой вычисления в них, то в квадратурной формуле число слагаемых будет равно числу параметров. ............