Министерство науки и образования Украины

ДГМА

Реферат

на тему:

Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц.

Подготовил

учащийся 1КД гр.

Сергей Шрам

Краматорск

2003

Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц.

 

При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.

В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки:

     или      

Для  краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква  (например, A),  либо символ  || a ij || ,  а иногда с разъяснением:  А = || a ij || =    ( a ij ), где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n).

Числа a ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца.  В случае квадрат-ной матрицы

              (1.1)

вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ а11  а12 … ann идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называ­ется диагональ аn1  а(n-1)2 … a1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Основные операции над матрицами и их свойства.

 Прежде всего, договоримся считать две матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Перейдем к определению основных операции над матрицами.

Сложение матриц. Суммой двух матриц  A = || a ij || ,  где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n)  и В = || b ij || , где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n)  одних и тех же порядков т и п называется матрица С = || c ij ||  (і =1,2, ..., т;  j = 1, 2, ...., п) тех же порядков т и п, элементы сij   которой определяются по формуле

 ,  где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n)           (1.2)

Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению:

 +  =  

Из определения суммы матриц, а точнее из формул (1.2) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения веществен-ных чисел, а именно:

1) переместительным свойством: А + В = В  + А,

2) сочетательным свойством: (A + B) + С = А + (В + С).

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число. ............