Застосування подвійних інтегралів

Содержание

1. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах

2. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії

3. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки

1. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах

Нехай функція  неперервна в деякій замкненій і обмеженій області , тоді існує інтеграл

.

Припустимо, що за допомогою формул

 (1)

ми переходимо в інтегралі  до нових змінних  та . Вважатимемо, що з формул (1) однозначно можна визначити  та :

. (2)

Згідно з формулами (2), кожній точці  ставиться у відповідність деяка точка  на координатній площині з прямокутними координатами  і .

Нехай множина всіх точок  утворює обмежену замкнену область . Формули (1) називаються формулами перетворення координат, а формули (2) - формулами оберненого перетворення.

Справедлива така теорема.

Теорема. Якщо перетворення (2) переводить замкнену обмежену область  в замкнену обмежену область  і є взаємно однозначним, і якщо функції (1) мають в області  неперервні частинні похідні першого порядку і відмінний від нуля визначник

 

, (3)

 

а функція  неперервна в області , то справедлива така формула заміни змінних

. (4)

Функціональний визначник називається визначником Якобі або якобіаном.

Таким чином, виконуючи заміну змінних в інтегралі  за формулами (1), ми маємо елемент площі  в координатах  замінити елементом площі  в координатах  і стару область інтегрування  замінити відповідною їй областю .

Розглянемо заміну декартових координат  полярними  за відомими формулами. Оскільки

.

То формула (3) набирає вигляду

 (4)

де область  задана в декартовій системі координат , а  - відповідна їй область в полярній системі координат.

У багатьох випадках формулу (4) доцільно застосовувати тоді, коли підінтегральна функція або рівняння границі області  містить суму , оскільки ця сума в полярних координатах має досить простий вигляд:

 

.

 

Якщо область  (рис.1, а) обмежена променями, які утворюють з полярною віссю кути  та   і кривими  та  , то полярні координати області  змінюються в межах ,  (рис.1, б). Тому формулу (4) можна записати у вигляді

 (5)

Рисунок 1 - Область: а) ; б)

подвійний інтеграл полярна координата

Якщо область  охоплює початок координат, тобто точка  є внутрішньою точкою області , то

 (6)

де  - полярне рівняння межі області .

Приклади

1. Обчислити інтеграл , якщо область  - паралелограм,

обмежений прямими  (рис.1, а).

Розв’язання

Безпосереднє обчислення цього інтеграла надто громіздке, тому що як в напрямі осі  так і в напрямі осі  область  потрібно спочатку розбити на три області, а потім обчислювати три подвійних інтеграли.

Виконаємо таку заміну змінних: , тоді прямі  та  в системі  переходять в прямі  та  у системі  (рис.1, б), а прямі  та  відповідно в прямі  та .

Таким чином, область  (паралелограм) переходить у системі  в прямокутник .

Рисунок 2 - Область: а) ; б)

Далі маємо

За формулою (3)

2. ............