Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
Содержание
1. Признак Даламбера
2. Признак Коши
3. Интегральный признак сходимости ряда
4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
5. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды
Список использованных источников
1. Признак Даламбера
Теорема 1 (признак Даламбера). Пусть дан ряд , где все > 0.Если существует предел
,
то при 0<1 ряд сходится, а при > 1 ряд сходится.
◄Пусть существует предел
,
где 0<1. Возьмем q такое, что < q <1. Тогда для любого числа ε > 0, например, для
,найдется номер N такой, что для всех n ≥ N будет выполняться неравенство
< q - ,
В частности, будем иметь
< q - ,
или
< q,
Откуда < q для всех n ≥ N. Из этого неравенства, придавая n последовательно значения N, N+1,N+2, получим
< q,
< q < q,
< q < q,
………………………….
Члены ряда
+++…
Не превосходят соответствующих членов ряда
q +q +q+… ,
который сходятся как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q ,0 < q < 1. По признаку сравнения ряд
+++…
сходится, а значит, сходится и исходный ряд .
В случае > 1, начиная с некоторого номера N, будет выполняться неравенство
> 1, или > > 0.
Следовательно, 0, и ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости. ►
Замечание. Если
1,
Или не существует, то признак Даламбера ответа о сходимости или расходимости ряда не дает.
Примеры. Исследовать на сходимость следующие ряды:
1. .
◄ Для данного ряда имеем
, .
Тогда
.
По признаку Даламбера ряд сходится. ►
2. .
◄ Имеем
, = ;
.
Данный ряд расходится. ►
2. Признак Коши
Теорема 2 (признак Коши). Пусть дан ряд
, . (1)
Если существует конечный предел
,
то 1) при ряд сходится;2) при ряд расходится.
◄ 1) Пусть . Возьмем число q такое, что . Так как существует предел
,
где , то, начиная с некоторого номера N , будет выполняться неравенство .
В самом деле, из определенного равенства вытекает, что для любого ε ,в том числе и для
ε = , найдется такой номер N , начиная с которого будет выполняться неравенство
,
откуда или что тоже,
.
Отсюда получаем
для .
Таким образом, все члены ряда, начиная с , меньше соответствующих членов сходящегося ряда . По признаку сравнения ряд
сходится, а значит сходится и ряд(1).
2)Пусть . Тогда, начиная с некоторого номера N для всех n > N , будет выполняться неравенство , или
.
Следовательно,
И ряд (1) расходится. ►
Замечание. Если , то ряд (1) может как сходиться, так и расходиться.
Примеры. Исследовать на сходимость следующие ряды:
1. .
◄ Имеем
, ;
.
Ряд сходится. ►
2.
◄ Здесь
, ;
Ряд сходится. ............
