Золотое сечение в природе и искусстве Автор: Седлинский Игорь Николаевич
    Гимназия № 1 г. Апатиты, Мурманская обл.
    Четвертая региональная научная и инженерная выставка "Будущее Севера"
    Мурманск
    2002 год
    Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - теорема Пифагора, другое- деление отрезка в среднем и крайнем отношении.
    И. Кеплер
    Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.
    Самым известным из всех иррациональных чисел, то есть чисел, десятичные разложения которых бесконечны и непериодичны, следует считать число ? - отношение длины окружности к ее диаметру. Иррациональное число ? ("фи") известно не столь широко, но оно выражает фундаментальное отношение, имеющее почти такой же универсальный характер, как и число ?. Сходство между числами ? и ? этим не исчерпывается: подобно ?, ? обладает свойством возникать в самых неожиданных местах . Что такое золотая пропорция.
     Пусть длина некоторого отрезка равна А (рис.1) , длина его большей части равна Х, тогда (А - Х) - длина меньшей части отрезка. Пусть отношение всего отрезка к большей его части равно отношению большей части к меньшей. Составим отношение согласно допущению: . (1)
    Такое деление отрезка и называется со времен древних греков делением отрезка в крайнем и среднем отношении.
     От пропорции (1) перейдем к равенству A(A-X)=X2 . Получаем квадратное уравнение . Длина отрезка X выражается положительным числом, поэтому из двух корней выбираем положительный: .
     Число обозначается буквой ? или буквой ? ("тау") в серьезной математике. Не менее важное значение имеет число , обратное ?, которое обозначается Ф. Число ? - единственное положительное число, которое обращается в обратное себе при прибавлении единицы.
    =1/?
     Обратим внимание на удивительную инвариантность золотой пропорции:
    
    Такие значительные преобразования, как возведение в степень, не смогли уничтожить сущность этой уникальной пропорции, ее "душу". Следующие соотношения еще раз демонстрируют инвариантность золотой пропорции:
    
    
    -2-
    
    и т.д.
    
    Подобно числу ? ,Ф можно представить в виде суммы бесконечного ряда многими способами. Предельная простота следующих двух примеров еще раз подчеркивает фундаментальный характер Ф :
    Ф =lim 1+
    
    Ф = lim
     С золотой пропорцией тесно связан ряд чисел Фибоначчи 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 и т.д. В этом ряду каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел. Спустя четыре столетия после открытия Фибоначчи ряда чисел И.Кеплер установил, что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции Ф. ............