Решить графоаналитическим методом.
Задача 1
max j (X) = - 2x1 + x2 + 5x3
при 4x1 + 2x2 + 5x3 ³ 12
6x1 - 3x2 + 4x3 = 18
3x1 + 3x2 - 2x3 £ 16
Х ≥ 0
Здесь число n = 3 и число m = 3.
Выразим из ограничений и х3:
≥ 0
Подставим его в целевую функцию
max j (X) =
Получим новые ограничения:
х ≥ 0
Получили задачу линейного программирования в основном виде для n = 2
Вычисляем градиент :
= =
Рисунок 1
Прямые a, c, d и e пересекаются и образуют четырехугольник ACDE. Определим max φ (Х), который удовлетворяет условию Х>=0:
Это точка D (0,7; 4,7; 0).
Функция φ (Х*) в точке D:
φ (Х*) = 38,3
Найти экстремумы методом множителей Лагранжа
Задача 2
extr φ (X) = 4x1 - x22 - 12
при x12 + x22 = 25
Составим функцию Лагранжа:
L (X,λ) = 4x1 - x22 - 12 + λ (x12 + x22 - 25)
h (X) = x12 + x22 - 25 = 0 - функция ограничения.
Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их нулю.
Решим данную систему уравнений:
2x2 (λ - 1) = 0
Предположим, что x2 ≠ 0, тогда λ = 1 подставим в первое уравнение системы.
4 - 2x1 = 0
2x1 = - 4
x1 = 2
Подставим x1 в третье уравнение системы.
4 +x22 - 25 = 0
x22 - 21 = 0
x22 = 21
x2 = ±4,5826
Параболоид вращения функции h (x).
В двухмерной проекции график выглядит так:
Рисунок 2.
На рис.2 видно, что в точках А1 и А2 функция φ (X) = h (X). В этих точках функция φ (X) равна минимальному значению.
(X*,λ*)
N
X1*
X2*
λ*
φ (X*)
Примечание 1 2 4,5826 1 -24,25 Min 2 2 -4,5826 1 -24,25 Min
Решить обобщенным методом множителей Лагранжа или на основе условий Куна-Таккера.
Задача 3
extr φ (X) = 9 (x1 - 5) 2 + 4 (x2 - 6) 2 =
при 3x1 + 2x2 >= 12
x1 - x2 <= 6
Решим задачу на основе условий Куна-Таккера.
Составим функцию Лагранжа.
L (X,λ) = + λ1 (3x1 + 2x2 - 12) + λ2 (x1 - x2 - 6) =
Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их нулю.
Решим систему уравнений.
1) Предположим, что λ2 ≠ 0, тогда из уравнения (d) получим
x2 = х1 - 6
Пусть λ1 = 0 и x1 ≠ 0, тогда из уравнения (а) получим
18x1 - 90 - λ2 = 0, λ2 = 18х1 - 90
Пусть x2 ≠ 0, тогда из уравнения (b) получим
8x2 - 48 - λ2 = 0
Подставив в уравнение выражения для x2 и λ2, получим
x1 = 4
x2 = - 2
x1* = 4; x2* = - 2; φ (Х) * = 265
Трехмерный график целевой функции для данной задачи
Двухмерная проекция
Рисунок 3
На рис.3 видно, что в точке А функция b (X) = a (X), которые находятся в параболоиде вращения целевой функции.
В этой точке функция φ (X) равна максимальному значению.
2) Предположим, что λ2 = 0 и x2 ≠ 0, тогда из уравнения (b) получим
8x2 - 48 + 2λ1 = 0
x2 =
x2 = 6 -
Предположим, что x1 ≠ 0, тогда из уравнения (а) выразим x1.
18х1 - 90 + 3λ1 = 0
18 = 90 - 3λ1
х1 =
х1 = 5 -
Подставим выражения для x1 и x2 в уравнение (с) системы.
а) = 0, x1 = 5; x2 = 6
б) = 15
x1 = 2,5; x2 = 2,25
Подставив корни x1 = 5; x2 = 6 в целевую функцию получим φ (Х) = 0, а корни x1 = 2,5; x2 = 2,25 - получим φ (Х) = 112,49
Таким образом:
x1* = 5; x2* = 6; φ* (Х) = 0
На рис.4 видно, что в точке В функция φ (X) = a (X). ............
