Міністерство освіти і науки України

Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова

Фізико-математичний інститут

Кафедра вищої математики

Курсова робота на тему:

«Діофантові рівняння»

Виконала:

Студентка 22 МІ групи

Приблуди Ірини Андріївни Науковий керівник:

Канд. фізико-математичних них наук

доцентВерпатова Наталія Юріївна

 Комісія: 1. _______________________________

2.                                                                                   

3.                                                                                   

Оцінка:                                                                    

Київ 2010

 

План

 

Вступ

Розділ І. Загальні теоретичні відомості

1.  Лінійні діофантові рівняння.

2.  Невизначені рівняння вищих порядків.

2.1 Рівняння. Піфагорові трійки

2.2 Рівняння Ферма

2.3 Невизначене рівняння третього порядку

2.4 Рівняння Лежандра

Розділ ІІ. Приклади розв’язання діофантових рівнянь

1.  Розв’язування лінійних діофантових рівнянь.

2.  Розв’язування діофантових рівнянь вищих порядків.

Висновок

Література

 

Вступ

Діофант представляє одну із найцікавіших особистостей в історії математики. Ми не знаємо, ким був Діофант, точні роки його життя, не відомі його попередники, які працювали у тій же сфері, що й він.

Дуже цікавою є діяльність Діофанта. До нас дійшло 7 книг із 13, які були об’єднані в «Арифметику». Стиль і зміст цих книг дуже відрізняється від класичних книг з теорії чисел та алгебри, зразки яких ми знаємо з «Начал» Евкліда, лем Архімеда і Аполлонія. «Арифметика», безсумнівно, є результатом багаточисленних досліджень, велика кількість з яких залишилась нам невідомою.

«Арифметика» Діофанта – це збірник задач (їх всього 189), кожна з яких має розв'язок і необхідні пояснення. В збірник входять різноманітні задачі, і їх розв’язки дуже часто не так просто зрозуміти. Діофант практикувався у знаходженні розв’язків невизначених рівнянь вигляду 𝐴 , або систем таких рівнянь. Його цікавили тільки додатні цілі числа і раціональні розв’язки. Ірраціональні розв’язки він називав «неможливими» і ретельно підбирав коефіцієнти так, щоб отримати шукані додатні, раціональні розв’язки.

Тому ,зазвичай, довільне невизначене рівняння (але, як правило, з цілими коефіцієнтами)називають «діофантовим», якщо хочуть наголосити на тому, що рівняння слід розв’язувати в цілих числах.

Невизначені рівняння першого степеня почали розглядати математики, приблизно в V столітті. Деякі такі рівняння з двома, трьома невідомими з’явились у зв’язку з проблемами, які виникли в астрономії, наприклад, при розгляді питань, пов’язаних з визначенням періодичного повторення небесних явищ.

В 1624 році була опублікована книга французького математика Баше де Мезирьяка , у якій для розв'язку рівняння 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐 фактично застосовується процес, що зводиться до послідовного визначення неповних часткових підхідних дробів.

Після Баше в XVII і XVIII століттях різні алгоритми для розв'язку невизначеного рівняння першого степеня з двома невідомими давали Роль, Ейлер та інші математики.

Ланцюгові дроби для розв'язку таких рівнянь були застосовані вперше Лагранжем. ............