Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования

Определение динамических свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений может быть пока успешно выполнена только для сравнительно простых объектов. Как правило, в редких случаях можно при небольшой затрате времени составить достаточно точное дифференциальное уравнение объекта.

В настоящие время при составлении дифференциальных уравнений элементов и систем регулирования принято пользоваться безразмерными переменными величинами. Для этого отклонения величин относят к каким-либо постоянным (базовым) значениям величин, например к максимальным или средним (номинальным). Выражая входную и выходную величины элемента (или системы) в долях от этих базовых величин, вводят безразмерные координаты.

Например, уравнение

(С*d (DQ) /СC*dt) + DQ= 2*I0*R*DI/ СC*F (1)

 

DI/I = XВХ характеризует относительное отклонение входной величины от базового значения, а DQ/ Q0 = Хвых относительное отклонение выходной величины. Для перехода от размерной формы записи дифференциального уравнения к безразмерной производят замену абсолютных координат относительными. Так, например, уравнение (1) можно записать в безразмерной форме, заменив:

 

DQ = Q0 *Хвых и DI = I *XВХ

Тогда

С* Q0* d Хвых / СC* F* dt + Q0 Хвых = 2* I02* R* XВХ/ СC*F

Разделив обе части уравнения на Q0, получим:

 

С* d Хвых / СC* F* dt + Хвых = 2* I02* R* XВХ/ СC*F* Q0

Обозначим:

 

С / СC* F= Т 2* I02* R/ СC*F* Q0 = R

Коэффициенты при производных от выходной величины называются постоянными времени и имеют размерность времени

В самом деле,

 

С[дж/град] / СC[вт/см2*град]* F[ см ]= С / СC* F[дж*см2*град/град*вт*см2]

Коэффициент К при XВХ называется коэффициентом усиления, и естественно должен быть безразмерным:

 

2* I02[А2]* R[Ом]/ СC[ вт/см2*град ]*F[ см ]* Q0[град] =

= 2* I02* R/ СC*F* Q0[А2*Ом*см2*град/Вт*см2*град] =

= 2* I02* R/ СC*F* Q0[0] = К

Уравнение (1) с учетом введённых обозначений будет иметь в безразмерной форме следующий вид:

 

Т* Х/ вых + Х вых = К* Х вх (2)

Определим для примера уравнение кривой разгона термической печи, дифференциальное уравнение которой было введено ранее:

 

Т* Х/ вых + Х вых = К* Х вх

Будем искать решение этого уравнения в виде

 

Х вых = С*еrt + K* Х вх 0

Где r и С подлежат определению

Подставляя значения Х вых и Х/ вых в уравнение (2). Получим

 

Т* С*r*еrt + С*еrt = 0

Сокращая на С*еrt будем иметь:

 

Т* r + 1 = 0

Откуда r = - 1/Т и решение примет вид

 

Х вых = К* Х вх 0 (1-е-t/T)

При t = 0 Х вых = 0 следовательно С = К* Х вх 0. тогда уравнение кривой разгона будет:

 

Х вых = К* Х вх 0 (1-е-t/T)

График кривой разгона:

При t = ¥ выходная величина Х вых достигает предельного значения

Х вых. ............