Министерство образования и науки Российской федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Тюменский государственный университет
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра информатики и математики
КУРСОВАЯ РАБОТА
По дисциплине «Математический анализ»
на тему:
Дифференцирование в линейных нормированных пространствах
Выполнила: студентка 393 гр.
Жукова И.А.
Проверил: доцент кафедры МиИ
Салтанова Т.В.
Тюмень 2010
Оглавление
Введение
Основные понятия
Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)
Слабый дифференциал (дифференциал Гато)
Формула конечных приращений
Связь между слабой и сильной дифференцируемостью
Дифференцируемые функционалы
Абстрактные функции
Интеграл
Производные высших порядков
Дифференциалы высших порядков
Формула Тейлора
Заключение1
Список литературы:
Введение
Функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства и их отображения.
Понятие нормированного пространства – одно из самых основных понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств была построена, главным образом, С. Банахом в 20-х годах 20 века. Функциональный анализ за последние два десятилетия настолько разросся, настолько широко и глубоко проник почти во все области математики, что сейчас даже трудно определить самый предмет этой дисциплины. Однако в функциональном анализе есть несколько больших «традиционных» направлений, которые и поныне в значительной степени определяют его лицо. К их числу принадлежит дифференцирование линейных нормированных пространств.
Основные понятия Определение 1. Непустое множество называется линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:
Й. Для любых двух элементов однозначно определен элемент , называемый их суммой, причем
1. (коммутативность)
2. (ассоциативность)
В существует такой элемент 0, что для всех
4. Для каждого существует такой элемент , что .
II. Для любого числа и любого элемента определен элемент , причем
5.
6.
III. Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутивными законами:
7.
8.
Определение 2. Линейное пространство называется нормированным, если на нем задана неотрицательная функция , называемая нормой, удовлетворяющая условиям:
для любого и любого числа ;
для любых (неравенство треугольника).
Определение 3. Оператором называется отображение
,
где - это линейные пространства.
Определение 4. Оператор называется линейным, если для любых элементов и любых чисел R выполняется равенство:
Определение 5. Пусть - линейные нормированные пространства,
– линейный оператор,
Линейный оператор непрерывен в точке , если из того, что
следует, что .
Определение 6. Линейный оператор непрерывен, если он непрерывен в каждой точке .
Определение 7. Линейный оператор называется ограниченным, если
Утверждение. Для линейного нормированного пространства непрерывность линейного оператора равносильна его ограниченности.
Определение8. Наименьшая из констант M таких, что , называется нормой оператора А и обозначается .
В частности, выполняется
Справедливо следующее утверждение: для любого ограниченного линейного оператора
Сильный дифференциал (дифференциал Фреше) Пусть X и У — два нормированных пространства и F — отображение, действующее из X в Y и определенное на некотором открытом подмножестве О пространства X. ............