Элементы теории вероятностей. Случайные события

 

Цель изучения - развить навыки составления и анализа математических моделей несложных задач прикладного характера, связанных со случайными явлениями, научить способам вычисления вероятностей простых и сложных событий, методам оценки неизвестных параметров на основе экспериментальных данных, методам проверки гипотез и правилам принятия решений.

Данная тема включает в себя:

·  Основные понятия и определения.

·  Действия над случайными событиями.

·  Классическое определение вероятности.

·  Свойства вероятностей.

·  Случайные величины.

Изучив эту тему, студент должен:

Знать:

·  правила вычисления вероятностей случайных событий;

·  способы определения и построения законов распределения вероятностей случайных величин и вычисления их числовых характеристик.

Уметь:

·  вычислять вероятности простых и сложных событий;

·  находить необходимые характеристики случайных величин по известным законам.

При изучении темы необходимо:

·читать главу 11,12 из учебника «Математика и информатика» (Турецкий В.Я.).

 

Задача 1.

В розыгрыше кубка страны по футболу берут участие 17 команд. Сколько существует способов распределить золотую, серебряную и бронзовую медали?

Решение:

Поскольку медали не равноценны, то количество способов распределить золотую, серебряную и бронзовую медали среди команд будет равно числу размещений из 17-ти элементов по 3, т.е. = 4080.

 

Задача 2.

Произведено три выстрела по мишени. Рассматриваются такие элементарные события: А – попадание в мишень при i-том выстреле;  – промах по мишени при i-том выстреле. Выразить через А и  следующие события:

А – все три попадания; В – ровно два попадания; С – все три промаха; D – хотя бы одно попадание; Е – больше одного попадания; F – не больше одного попадания.

Решение:

А – все три попадания, т.е. совместное появления трех событий А1, А2 и А3

Р(А) = Р(А1 и А2 и А3)

В – ровно два попадания, т.е. два попадания и один промах

Р(В) = Р(1 и А2 и А3 или А1 и 2 и А3 или А1 и 2 и А3)

С – все три промаха, т.е. совместное появления трех событий 1 и 2, 3

Р(С) = Р(1 и 2 и 3)

D – хотя бы одно попадание, т.е. или одно попадание, или два попадания или три попадания

Р(D) = Р(1 и 2 и А3 или 1 и А2 и 3 или А1 и 2 и 3 ИЛИ 1 и А2 и А3 или А1 и 2 и А3 или А1 и 2 и А3 ИЛИ А1 и А2 и А3)

или по формуле

Р(D) = 1 – Р(1 и 2 и 3)

Е – больше одного попадания, т.е. или два попадания или три попадания

Р(Е) = Р(1 и А2 и А3 или А1 и 2 и А3 или А1 и 2 и А3 или А1 и А2 и А3)

F – не больше одного попадания, т.е. одно попадание и два промаха

Р(F) = Р(1 и 2 и А3 или 1 и А2 и 3 или А1 и 2 и 3)

Задача 3.

Игральный кубик бросают два раза. Описать пространство элементарных событий. Описать события: А – сумма появившихся очков равна 8; В – по крайней мере один раз появится 6.

Решение:

Будем считать пространством элементарных событий множество пар чисел (i, j), где i (соответственно j) есть число очков, выпавших при первом (втором) подбрасывании, тогда множество элементарных событий будет таким:

W={(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}

А – сумма появившихся очков равна 8. ............