Курсова робота: Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел

Зміст

Введення

Розділ 1.Вихідні визначення

§1. Порядкові визначення

§2. Топологічні визначення

Розділ 2. Лінійно впорядкований простір ординальних чисел

§1. Цілком упорядковані множини і їхні властивості

§2. Кінцеві ланцюги і їхні порядкові типи

§3. Порядковий тип

§4. Властивості ординальних чисел

§5. Простір ординальних чисел W( 1) і його властивості

Висновок

Список літератури

ВВЕДЕННЯ

ординарний число упорядкований множина

Ідеї топології були висловлені ще видатними математиками 19 століття: Н. И. Лобачевским, Риманом, Пуанкаре, Кантором, Гильбертом і Бауером. Однак загальна топологія, як неї розуміють зараз, бере початок від Хаусдорфа («Теорія множин», 1914).

Джерела теорії впорядкованих і частково впорядкованих алгебраїчних систем лежать у геометрії, функціональному аналізі й алгебрі.

Лінійно впорядковані простори, у тому числі й лінійно впорядкований простір ординальних чисел, поєднують у собі дві структури: порядкову й топологічну. Систематичного викладу теорії простору ординальних чисел не існує. Цим пояснюється актуальність обраної теми.

Ціль курсової роботи - дослідження простору ординальних чисел, його порядкових і топологічних властивостей.

РОЗДІЛ 1. Вихідні визначення й теореми

§1. ПОРЯДКОВІ ВИЗНАЧЕННЯ.

Визначення 1.1. Упорядкованою множиною називається непуста множина Х разом із заданим на ньому бінарним відношенням порядку , що:

рефлексивно: а  a;

транзитивне: a  b  c  a  c;

антисиметричне: a  b  a  a = b ( для будь-яких a, b, c X ).

Елементи впорядкованої множини називаються порівнянними, якщо

а < b, a = b або b < a.

Зауваження: по визначенню будемо вважати, що a < b, якщо a  b і a  b.

Визначення 1.2. Упорядкована множина називається лінійно впорядкованим, або ланцюгом, якщо будь-які його два елементи порівнянні.

Визначення 1.3. Елемент а впорядкована множина Х називається найменшим (найбільшим) елементом множини А Х, якщо а А и а  х

(х  а) для будь-якого х А.

Визначення 1.4. Елемент а впорядкована множина Х називається мінімальним (максимальним) елементом множини А Х, якщо в А немає елементів, менших (більших) а, тобто якщо х  а (а  х) для деякого х , те х = а.

Визначення 1.5. Нехай А – непуста підмножина лінійно впорядкованої множини Х. Елемент а з Х називається верхньої (нижньої) гранню множини А, якщо він більше (менше) будь-якого елемента з А.

Визначення 1.6. Якщо множина А має хоча б одна верхню (нижню) грань, те А називається обмеженим зверху (обмеженим знизу).

Визначення 1.7. Множина А називається обмеженим, якщо воно обмежено й зверху й знизу.

Визначення 1.8. Точною верхньою гранню множини А називається найменший елемент множини всіх верхніх граней множини А. Позначається sup A.

Визначення 1.9. Точною нижньою гранню множини А називається найбільший елемент множини всіх нижніх граней множини А. Позначається inf A.

Визначення 1.10. Нехай <X, > - лінійно впорядкована множина, що містить, принаймні, два елементи. Для а, b X, a < b покладемо

(a, b) = {x X: a < x < b}. Такі множини будемо називати інтервалами в Х. Множина [a, b] = { x X : a  x  b} називається відрізком у Х.

Визначення 1.11. Упорядкована множина називається цілком упорядкованим, якщо кожне його непуста підмножина має найменший елемент.

Визначення 1.12. ............