Дуалистические свойства математики и их отражение в процессе преподавания
    А.В.Ястребов 1. Об инвариантном ядре различных концепций математического образования
    Перечисляя основные психологически ориентированные модели школьного обучения, М.А.Холодная называет следующие пять: свободную модель (Р.Штейнер, Ф.Г.Кумбе и др.), личностную модель (Л.В.Занков, М.В.Зверева и др.), развивающую модель (Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов и др.), активизирующую модель (А.М.Матюшкин, М.М.Махмутов и др.), формирующую модель (П.Я.Гальперин, Н.Ф.Талызина и др.) [6, с. 307-308]. Добавим к этому списку предлагаемую ею модель обогащающего обучения, концепцию укрупнения дидактических единиц П.М.Эрдниева, в значительной мере ориентированную на математику, а также некоторые концепции вузовского математического образования: концепцию специальной математической и методической подготовки преподавателей профильных школ О.А.Иванова, профессионально-педагогической направленности обучения А.Г.Мордковича, наглядно-модельного обучения Е.И.Смирнова, моделирования научных исследований А.В.Ястребова.
    Для преподавателя математики педагогического вуза столь большое разнообразие подходов приводит к тому, что комплексное, одновременное использование достижений и рекомендаций каждой из концепций оказывается достаточно трудным или невозможным просто в силу их обилия и разнообразия. Более того, трудность такого рода только возрастает по мере дальнейшей разработки перечисленных концепций и появления новых. Одним из методов улучшения ситуации может служить выделение инвариантного ядра различных концепций математического образования. Речь идет о поиске таких положений (принципов, аксиом, утверждений и проч.), которые либо уже входят в большинство из концепций, либо могли бы войти в них в качестве составной части в процессе их развития. Полемически заостряя мысль, можно сказать, что речь идет о поиске таких положений, учет которых в той или иной форме был бы весьма желателен как при существующих подходах, так при тех, что с неизбежностью появятся в недалеком будущем.
    Математическое образование, на каких бы теоретических посылках оно ни базировалось, призвано сформировать в сознании учащихся адекватный образ математики. В силу этого общие положения любой педагогической концепции должны быть тесно связаны с имманентными свойствами математики, не зависящими ни от предметной области внутри нее, ни от уровня математических исследований, ни от исторического периода ее развития. Ниже будут рассмотрены некоторые из таких свойств. 2. Дуалистические свойства математики
    При описании дуалистических свойств математики мы будем исходить, во-первых, из общего представления о науке и, во-вторых, из общего представления о математике как о науке о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
    Математике, как и всякой науке, присущ деятельностно-продуктивный дуализм. Это означает, что понятие математики включает в себя как деятельность по получению нового знания, так и продукт этой деятельности - сумму полученных к данному моменту математических знаний.
    Поскольку образование должно формировать в сознании студентов адекватный образ науки, объективно возникает естественное требование к математической подготовке: обучение математике должно быть ориентировано, причем одновременно и в равной мере, как на передачу системы математических знаний, так и на формирование умений и навыков деятельности внутри математики.
    Проиллюстрируем вышесказанное примером, описав два различных сценария, которым может следовать педагог при выявлении математических взаимосвязей. ............