Две замечательные теоремы планиметрии. Мендель В.В., доцент кафедры геометрии ХГПУ
    В этой статье речь пойдет о двух замечательных теоремах: Чевы и Менелая.
    Эти теоремы не входят в обязательную программу школьного курса, но большинство авторов учебников по геометрии (А.Д. Александров, Л.С. Атанасян и другие) считают своим долгом включить эти теоремы в дополнительные главы.
    Замечательным свойством теоремы Чевы является то, что она может служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольников в 9 классе. В частности, с её помощью легко доказываются следующие свойства:
    1. медианы треугольника пересекаются в одной точке;
    2. высоты треугольника пересекаются в одной точке;
    3. биссектрисы внутренних углов; биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке;
    В
    
    
    
    С1 А1
    
    В1
    А С
    рисунок 1. а) (прямая пересекает две стороны и продолжение третьей)
    4. отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной(или вневписанной) окружности пересекаются в одной точке.
    Кроме того, авторы предлагают для самостоятельного решения достаточное количество задач, предполагающих использование теоремы Чевы.
    К сожалению, задач, предполагающих применение теоремы Менелая, в учебниках явно недостаточно.
    Одна из целей данной статьи: показать, как эффективно может работать теорема Менелая при решении сложных (и не очень) геометрических задач.
    Формулировки теорем Чевы и Менелая.
    В
    
    
    А С В1
    
    А1
    С1
    рисунок 1. б) (прямая пересекает продолжения всех трёх сторон)
    Теоремы Менелая и Чевы в разных источниках приводятся в различных формулировках: в векторной форме(с использованием направленных отрезков), в форме прямой и обратной теоремы. Здесь приводятся формулировки и доказательства, не требующие знания векторов и поэтому доступные для восьмиклассников.
    Теорема Менелая.
    Пусть в треугольнике АВС точка А1 ВС, точка B1 АС, точка С1 АВ. Точки А1, B1, С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда:
    ()
    на рис.1 а) и б) показаны возможные расположения прямой и треугольника.
    
    Доказательство: Докажем прямое утверждение: если точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой, то имеет место утверждение (*).
    Будем рассматривать случай, соответствующий рис.1 а).
    Опустим из вершины треугольника перпендикуляры АН1, ВН2 и СН3 на прямую А1 B1.(см. рис.2)
    
    
    В
    
    
    Н1
    Н2
    С1
    А1 Н3
    
    
    А С В1
    рисунок 2
    Мы получили три пары подобных прямоугольных треугольников А Н1С1 и В Н2С2, В Н2А1 и С Н3 А1, С Н3B1 и А Н1 B1.
    
    (У первых двух пар равны верти-
    кальные углы при вершинах С1 и А1 соответственно, у третьей пары общий угол с вершиной B1). ............