Контрольная работа
По эконометрики
Обзор корреляционного поля
Эти данные скорее всего можно аппроксимировать при помощи линейной регрессии вида ŷ = а - b·x, как самой простой.
Рассчитаем необходимые суммы и запишем их в таблице № 1:
Таблица №1:
i
x
y
x²
y²
x·y
ŷ
e
e²
A(%)
1
2,5 69 6,25 4761 172,5 66,40 2,60 6,75 3,76 2 3 65 9 4225 195 64,85 0,15 0,02 0,23 3 3,4 63 11,56 3969 214,2 63,61 -0,61 0,37 0,97 4 4,1 59 16,81 3481 241,9 61,44 -2,44 5,94 4,13 5 5 57 25 3249 285 58,65 -1,65 2,71 2,89 6 6,3 55 39,69 3025 346,5 54,61 0,39 0,15 0,70 7 7 54 49 2916 378 52,44 1,56 2,43 2,89
Сумма:
31,3 422 157,31 25626 1833,1 422,00 0,00 18,38 15,57
Среднее:
4,471 60,286 22,473 3660,857 261,871 - - - 2,22%
Ковариация между y и x рассчитывается по формуле , где , , . Дисперсия и среднее квадратическое отклонение для x и y находим по формулам:
= 2,479, = 26,490, 1,575, 5,147.
= -7,692 / 2,479 = -3,103; = 60,286 + 3,103 · 4,471 = 74,159
Получили уравнение регрессии: ŷ = 74,159 - 3,103·х (округлено до сотых).
Оцениваем качество полученной линейной модели:
а) TSS = 25624 - (31,3²) : 7 = 185,492; RSS = TSS - ESS = 185,429 - 18,38 = 176,051, где ESS = = 18,38 (в таблице №1); F - статистика = RSS · (n - m - 1) : ESS = 176,051 · ·5 :18,38 = 45,45.
Табличное значение на 1% уровне значимости равно 16,26 (см. таблицу распределения Фишера - Снедекора). Фактическое значение F - статистики больше табличного на 1% уровне значимости, следовательно уравнение регрессии в целом значимо и на 5% уровне значимости.
б) Средняя ошибка аппроксимации равна (ΣА)/7 = ((ΣIy-ŷI: y) · 100%) / 7 = 15,57 / 7 = =2,22%, что говорит о хорошей аппроксимации зависимости моделью (2,22% < 6%).
Вывод: модель получилась приемлемая (в смысле аппроксимации).
в) Коэффициент корреляции находим по формуле: = -0,949: сильная обратная линейная зависимость.
г) Коэффициент детерминации находим следующим образом: = 0,901 или вариация x определяет вариацию y на 90,1%.
Проверка на соответствие условиям теоремы Гаусса - Маркова
а) По таблице №2 рассчитаем статистику Дарбина - Уотсона:
Таблица №2
i
e²
e
ei-1
(ei-ei-1)²
=16,050 : 18,38 = 0,8734.
1 6,75 2,60 - - 2 0,02 0,15 2,598 5,996 3 0,37 -0,61 0,149 0,576 4 5,94 -2,44 -0,610 3,342 5 2,71 -1,65 -2,438 0,628 6 0,15 0,39 -1,646 4,134 7 2,43 1,56 0,388 1,373 Итого: 18,38 - -1,559 16,050
Полученное значение попадает в область неопределённости: DW (0,7; 1,35). Это значит, что для прояснения вопроса относительно автокорреляции остатков необходимо дальнейшее исследование ряда остатков другими методами, в которых отсутствует зона неопределённости.
б) Воспользуемся тестом серий Бройша - Годфри:
Таблица №3
t
et
et-1
e²t-1
et·et-1
êt
(y-bx)²
1 2,598 0,149 0,022 0,387 0,074 6,371 2 0,149 -0,610 0,372 -0,091 -0,302 0,204 3 -0,610 -2,438 5,944 1,487 -1,208 0,358 4 -2,438 -1,646 2,709 4,013 -0,816 2,632 5 -1,646 0,388 0,151 -0,639 0,192 3,379 6 0,388 1,559 2,430 0,605 0,773 0,148 Итого:
-1,559
-2,598
11,628
5,763
-1,287 13,092
На основании полученных данных построим уравнение регрессии без свободного члена вида ŷ=b·x. ............
