Задание 1 В таблице приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов).
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Y (t) 43 54 64 41 45 58 71 43 49 62 74 45 54 66 79 48
Требуется:
1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α1 = 0,3; α2 = 0,6; α3 = 0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r1 = 0,32;
нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.
Решение:
1. Для оценки начальных значений а (0) и b (0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y (t). Линейная модель имеет вид:
Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения по формулам:
Таблица 1
t Y (t) t-tср (t-tср) 2 Y-Yср (Y-Yср) х (t-tср) 1 43 -4 12 -9 33 2 54 -3 6 2 -4 3 64 -2 2 12 -17 4 41 -1 0 -11 6 5 45 1 0 -7 -4 6 58 2 2 6 8 7 71 3 6 19 47 8 43 4 12 -9 -33
36
419
0
42
0
36
Произведем расчет:
Получим линейное уравнение вида:
Для сопоставления фактических данных и рассчитанных по линейной модели значений составим таблицу.
Таблица 2. Сопоставление фактических и расчетных значений по линейной модели
t Y (t)
Yp (t)
1 43 49,42 2 54 50,26 3 64 51,11 4 41 51,95 5 45 52,80 6 58 53,64 7 71 54,49 8 43 55,33
Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели.
Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F (-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y (t) I квартала первого года, равное , и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) .
Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.
Аналогично находим оценки коэффициентов сезонности для II, III и IV кварталов:
Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса (табл. 3) используя следующие формулы:
Таблица 3. Модель Хольта-Уинтерса
t Y (t) a (t) b (t) F (t) Yp (t)
Абс. погр.,
E (t)
Отн. погр.,
в%
0 48,57 0,85 0,8612 - - 1 43 49,57 0,89 0,8650 42,56 0,44 1,03 2 54 50,35 0,86 1,0746 54,39 -0,39 0,72 3 64 50,88 0,76 1,2658 65,43 -1,43 2,24 4 41 51,85 0,82 0,7877 40,44 0,56 1,37 5 45 52,48 0,76 0,8605 45,56 -0,56 1,24 6 58 53,46 0,83 1,0807 57,21 0,79 1,36 7 71 54,83 0,99 1,2833 68,73 2,27 3, 20 8 43 55,45 0,88 0,7803 43,97 -0,97 2,26 9 49 56,52 0,94 0,8644 48,47 0,53 1,07 10 62 57,43 0,93 1,0801 62,09 -0,09 0,15 11 74 58,15 0,87 1,2769 74,89 -0,89 1, 20 12 45 58,61 0,74 0,7728 46,05 -1,05 2,34 13 54 60,29 1,03 0,8832 51,31 2,69 4,99 14 66 61,25 1,01 1,0785 66,23 -0,23 0,34 15 79 62,14 0,97 1,2735 79,50 -0,50 0,63 16 48 62,81 0,88 0,7676 48,77 -0,77 1,61 25,75
Проверка качества модели.
Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E (t) (разности между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). ............
