Завдання 1 У наведеній далі задачі виконати такі дії:
1.1. записати математичні моделі прямої та двоїстої задач;
1.2. симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої задач, подати їх економічний аналіз;
1.3. визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва продукції, та рентабельність кожного виду продукції;
1.4. обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни запасів дефіцитних ресурсів;
1.5. розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної продукції.
Підприємство виготовляє чотири види продукції, використовуючи для цього три види ресурсів. Норми витрати усіх ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів наведено в таблиці. Відома ціна одиниці продукції кожного виду. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший дохід.
Ресурс Норма витрат на одиницю продукції за видами Запас ресурсу А В С Д 1 2 1 1 1 280 2 1 0 1 1 80 3 1 5 0 0 250 Ціна одиниці продукції (ум. од.) 4 3 6 7
Розв'язання:
1.1. Математичні моделі прямої та двоїстої задач мають такий вигляд:
де – обсяг виробництва продукції го виду ();
де – оцінка одиниці го виду ресурсу ().
Розв’яжемо пряму задачу симплекс-методом:
Базис
Сбаз
План 4 3 6 7 0 0 0
х1
х2
х3
х4
х5
х6
х7
х5
0 280
2
1 1 1 1 0 0 140
х6
0 80 1 0 1 1 0 1 0
х7
0 250 1 5 0 0 0 0 1 250
0 -4 -3 -6 -7 0 0 0
х1
4 200 2 1 1 1 1 0 0
х6
0 80 1 0 1 1 0 1 0
х7
0 250 0
1
-4 0 -3 0 1 250
560 0 -3 10 2 4 0 0
Остання симплекс-таблиця, що відповідає оптимальному плану поставленої задачі, має вигляд:
Базис
Сбаз
План 4 3 6 7 0 0 0
х1
х2
х3
х4
х5
х6
х7
х2
3 50 1 0 -1 1 0 1 1/5
х5
0 150 0 0 2 1 1 -1 -1/5
х4
7 80 0 1 3/5 0 0 4/7 0
710 3,6 0 1 0 0 7 0,6
З наведеної симплекс-таблиці маємо:
;
min F = 80*7 +250*0,6 = 710 = max Z.
Оптимальний план прямої задачі передбачає виробництво лише двох видів продукції А і В у кількості відповідно 50 та 80 од. Випуск продукції А та С не передбачається (х1 = х3 = 0). Додаткові змінні х5, х6, х7 характеризують залишок (невикористану частину) ресурсів відповідно 1, 2 та 3. Оскільки х5 = 150, то перший ресурс використовується у процесі виробництва не повністю, а другий та третій ресурси – повністю (х6 = х7 =0). За такого оптимального виробництва продукції та використання ресурсів підприємство отримує найбільший дохід у розмірі 710 ум. од.
План двоїстої задачі дає оптимальну систему оцінок ресурсів, що використовуються у виробництві. Так, y2 = 7 та y3 = 0,6 відмінні від нуля, а ресурси 2 та 3 використовуються повністю. Двоїста оцінка y1 = 0 і відповідний вид ресурсу не повністю використовується при оптимальному плані виробництва. Така оптимальна система оцінок дає найменшу загальну вартість усіх ресурсів, що використовуються на підприємстві: min F = 710 ум. ............
