Содержание
Введение
Глава 1. Неравенство Маркова на индексационных классах
§ 1. Экстремальная задача
§ 2. Свойства отображения
§ 3. Доказательство теоремы
Глава 2. О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥)
Литература
Введение
В работе вводится понятие индекса функции на [0,¥) относительно произвольного класса F функций на [0, ¥), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощью понятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационных классах изучается конечная проблема моментов.
Определение 1. Скажем, что функция D(t), tÎR1, имеет k строгих перемен знака, если существуют множества A1<A2<…<Ak+1, такие, что
а) ;
б) знаки функции D(t) на множествах A1, A2, …, Ak+1 перемежаются.
Пусть f(t) и g(t) – функции на R1. Пишем , если функция D=g-f имеет k-1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна.
Нетрудно видеть, что отношение выполнено тогда и только тогда, когда
а) не существует точки x1, …, xk (-¥<x1<…<xk<¥) такие, что
(-1)k-i f(xi) > (-1)k-i g(xi), ;
б) существуют точки y1, …, yk (-¥<y1<…<yk<¥) такие, что
(-1)k-i f(yi) > (-1)k-i g(yi), .
Пусть F – некоторый класс непрерывных слева функций на [0, ¥) и f, g Î F.
Определение 2. Пишем , если для любой функции hÎF, h¹g, выполнено одно из отношений: , , , . Пишем , если для любой функции hÎF, h¹f, выполнено одно из отношений: , ,, .
Функция f имеет индекс k- в F, если выполнено отношение и не выполнено . Функция g имеет индекс k+ в F, если выполнено и не выполнено .
Через Ik- (Ik+), k³1, обозначим совокупность всех функций с индексом k- (k+) в F.
Пусть U – семейство функций на [0, ¥).
Через FU обозначим множество функций fÎF, для которых интегралы
, uÎU,
абсолютно сходятся.
В случае положим , fÎFU, AÌFU, :
, Fi(A)={Fi(f): fÎA},
, ,
.
Множество называется моментным пространством класса F относительно системы функций .
Лемма 1. Пусть системы u1(t), …, un(t) и u1(t), …, un(t), un+1(t) образуют T+-системы на [0, ¥) такие, что . Тогда отношение невозможно для и, если , то
.
Доказательство. Допустим, что , где k£n, и A1, …, Ak – множества строгого знакопостоянства функции D=g - f. Для векторов рассмотрим матрицу
.
Так как
, ,
то есть
, (1)
где di(-1)k-i, и di=0, для всех векторов .
Из (1) следует, что detH()=0 для любых . С другой стороны, применив k раз теорему о среднем к H(), получим
, (2)
где 0£x1<x2<…<xk<¥. Так как векторы линейно зависимы, то их можно дополнить до системы линейно независимых векторов . Из (2) получаем .
Пусть теперь и .
Так как
, (3)
где di=(-1)n+1-i, , то
,
где H – матрица, записанная в (3) слева, - матрица, получаемая из H удалением (n+1)-ых строки и столбца. Применив теорему о среднем, получаем detH>0, . Вместе с равенством dn+1=1 это означает, что d>0.
Определение 3. Скажем, что последовательность {fi}i³1 функций на [0, ¥) относительно класса U слабо сходится к функции f , если
для всех uÎU.
Определение 4. Множество AÌFU назовем (k, U) окрестностью функции f в F, если fÎA и множество А имеет вид , где V открыто, при , при .
Множество AÌFU назовем (k, U)-открытым, если каждая функция fÎA имеет (k, U) окрестность, состоящую из функций множества А.
Определение 5. ............
