К решению теоремы Ферма Николай Иванович Пичугин, ветеран ВОВ и ВС Москва 2001 - 2004 год
    Статья посвящена исследованию доказательства теоремы Ферма в общем виде. Показано, что кроме уравнения второй степени уравнения Ферма не содержат других решений в целых числах. Предложено к рассмотрению 4 метода доказательства теоремы при целых x, y. Проблему доказательства теоремы Ферма следует считать закрытой.
    Более 350 лет профессиональные математики и любители пытаются доказать теорему Ферма. Однако до настоящнго времени нет общепризнанного доказательства. Тем не менее, интерес к загадочной теореме не угасает и до настоящего времени остается высоким.
    В настоящей статье предлагается к рассмотрению простой метод доказательства, основанный на разделении числового множества yn + xn =zn (1) на два подмножества, из которых первое содержит только те x и y для всех показателей степени n, которые могут содержать решения уравнения (1) в целых числах x,y,z, а второе подмножество содержит только нецелые решения.
    Отделить друг от друга упомянутые подмножества представляется возможным путем разложения уравнения (1) на составные части по биному Ньютона и составления на их основе уравнения с учетом принятых ограничений для поиска целых решений. Для этого представим уравнение (1) в виде, удобном для разложения :
    (x - a)n + xn -(x+b)n = 0 (2)
    Здесь: x - переменное число, а < x - целое число; n - целое число, показатель степени; b - целое или нецелое число, в зависимости от соотношения x,a, и n.
    Сущность доказательства заключается в определении подходящих значений x,y,z для удовлетворения уравнений ( 1 ) и ( 2 ) методом последовательных приближений. Задача решается применительно к 450 сектору I квадранта в плоскостных координатах (x,y), т.к. из-за недостатка информации координата z равна 0. Полученные результаты могут быть распространены на остальные 7 секторов плоскости (x,y), определяя тем самым область распространения условий теоремы Ферма.
    Итак, применяя формулу бинома Ньютона к выражению (2), получим:
    (x-a)n + xn = 2xn - nxn-1 a + cn2 xn-2 a2 - cn3 xn-3 a3...... +an
    (x+b)n = xn +nxn-1 b + cn2 xn-2 b2 + cn3 xn-3 b3 .......+bn
    = xn - nxn-1 (a+b) + cn2 xn-2 (a2-b2) - cn3 xn-3 (a3+b3)..+(an+bn) =0
    (3)
    Назовем выражение (3) основным уравнением в поисках целых решений уравнения (2). Подходящие значения x, y=(x-a), z=(x+b), удовлетворяющие уравнениям (1) и (2), будем искать при условии a=b=1. Обоснование принятых допущений (ограничений) изложено ниже. Полагая a = b , уравнение (3) преобразуем к виду:
    xn - 2nxn-1 a - 2cn3 xn-3 a3 - 2cn5 xn-5 a5 - ... (an + an )=0 (4)
    Обозначим через P(a,n) = 2cn3 xn-3 a3 + 2cn5 xn-5 a5 +... ( an + an ) - добавку после первых двух членов уравнения (4). Тогда уравнение (4) примет вид:
    xn - 2nxn-1 a - P(a,n) = 0
    Разделив все члены уравнения на xn-1, получим выражение для искомого x
    x=2na+P(a,n)/xn-1 , где P(a,n)/xn-1 ?0 (5)
    При a = b = 1 выражение (5) примет вид:
    x=2n+P(1,n)/xn-1 (6)
    Подходящие значения y=x-1 и z=x+1 определяются через известный х. Из формул (5) и (6) становится ясным, что при n>2 согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) возможно только при учете добавки P(1,n)/xn-1 .
    Исходя из изложенного, целые числа х и у из теоремы Ферма следует однозначно отнести ко второму подмножеству yn + xn =zn
    Ниже, в таблице приведены результаты расчетов согласования для n=2,3,4 и 5. n x y=x-1 z=x+1 xn yn xn+ yn zn ?% 2 4 3 5 16 9 25 25 - 3 6,055 5,055 7,055 221 129 350 350 - 4 8,125 7,125 9,125 4350 2540 6890 6890 - 5 10,200 9,200 11,200 107000 66000 173000 175000 1,25 На основании изложенного можно сделать следующие предварительные выводы:
    Согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) невозможно без учета добавки P(a,n)/xn-1.
    Если уравнение yn + xn =zn с учетом добавки P(a,n) выразить в числовых отрезках и спроектировать на плоскость (х,у), то на ней при n>2 образуется остроугольный треугольник, все стороны которого при a=b=1 выражены нецелыми числами: х=2n+P(1,n)/хn-1; у=2n-1+ P(1,n)/хn-1; z=2n+1+ P(1,n)/хn-1, что находит подтверждение при следующем рассмотрении добавки P(1,n)/хn-1 .
    Для выяснения этого вопроса представим ее после сокращений в следующем виде
    P(1,n)/хn-1=2cn3/ x2 + 2cn5 / x4 +2cn7 / x6... ............