Кривые, заданные в полярных координатах

Р.Л. Ткачук

Вологда

Введение

Тема «Полярная система координат» позволяет познакомить учащихся с красивейшими результатами математической науки.

Полярная система координат на плоскости определяется заданием точки O (полюс), луча Ох (полярная ось) и единичного отрезка т. Кроме того, должен быть указан поворот луча Ох, называемый положительным. Пусть это будет поворот в направлении против движения часовой стрелки. Повороты луча, совершаемые в направлении, противоположном положительному, будем называть отрицательными.

Пусть М — произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом. Обозначим через  длину отрезка ОМ, а через — величину угла, образованного лучами Ох и ОМ. Числа  и такие, что р>0 и 0  ф < 2π, именуют полярными координатами точки М. Число называют первой полярной координатой, или полярным радиусом, число — второй полярной координатой, или полярным углом (рис. 1) Если точка М совпадает с полюсом, то  = 0, а полярный утол  считаем равным нулю. Заметим, что при заданных нами условиях  > 0, 0 ≤ < 2π, полярные координаты любой точки определяются однозначно.

Введение таких координат очень естественно, ведь местонахождение любой точки на земной поверхности для неподвижного наблюдателя удобно определять с помощью расстояния от наблюдателя до этой точки и направления к точке от наблюдателя (в этом случае точка, в которой находится наблюдатель, служит полюсом).

Школьникам можно напомнить, что в повести Р.Л.Стивенсона «Остров сокровищ» описано, как старый пират Флинт определил местоположение закопанного клада: «Десять футов к северу от высокого дерева на склоне Подзорной Трубы» (рис. 2).

Построение кривых, заданных полярными уравнениями, имеет некоторые специфические особенности, которые мы проиллюстрируем на примерах. Как известно, математики Древней Индии заменяли доказательства теорем геометрическим чертежом, сопровождая его короткой подписью: «Смотри!». Мы пользовались тем же принципом, заменив долгие разъяснения рисунками, из которых видны все свойства кривых.

В дальнейшем, при построении кривых мы позволим углу  принимать любые неотрицательные значения, выделяя на рисунках жирной линией фрагменты кривых, получающиеся при ограниче-нии 0 ≤ < 2π.

Алгебраические спирали

Сначала рассмотрим так называемые алгебраические спирали, т.е. кривые, полярные уравнения которых являются алгебраическими относительно  и  и имеют вид F(, ) = 0,  ≥0,  ≥ 0. Если перейти к прямоугольной системе координат, то эти уравнения уже не будут алгебраическими относительно х и у. Кривые, задаваемые такими уравнениями, принято называть трансцендентными.

Достаточно громоздкие декартовы уравнения упрощаются при переходе к полярной системе координат. Зависимость между полярными и декартовыми координатами весьма проста.

Пусть полюс O совпадает с началом декартовой системы координат, полярная ось совмещена с положительным направлением оси Ох; М(х; у) — произвольная точка декартовой плоскости. Легко убедиться, что

И обратно:

x= 

Спираль Архимеда

 = .

Поместим точку на секундную стрелку часов и будем перемешать точку вдоль секундной стрелки с постоянной скоростью, не обращая внимания на равномерное движение стрелки часов по кругу. ............