ЛІНІЙНА МОДЕЛЬ ВИРОБНИЦТВА

1. Лінійні моделі виробництва та лінійне програмування

Будь-яке національне господарство розвивається в складній мережі міжгалузевих взаємозв'язків, які зрозуміти шляхом простого математичного апарату неможливо. Наприклад, попит на автомобілі впливає не тільки на автомобільну промисловість, але непрямо і на металургію – виробника базової сировини для виготовлення автомобілів, і на галузі, пов'язані з виробництвом шин, і інших комплектуючих частин, а також на галузі, які виготовляють радіоелектронне устаткування та ін. Прості розрахунки показують, що «лобовий» підхід та арифметика не допоможуть при спробі кількісного аналізу прямого й непрямого ефекту поширення таких впливів.

Метод міжгалузевого аналізу, розроблений американським економістом російського походження Василем Леонтьєвим, дозволяє дати послідовні та чисельно впевнені відповіді на запитання, пов'язані з міжгалузевими взаємодіями й їх впливами на основні макроекономічні показники.

Розглянемо діяльність найнижчої ланки макроекономіки (виробничої одиниці – заводу, цеху). Потрібно скласти план виробництва, який забезпечує максимальний ступень виконання завдання. Щодо даної виробничої одиниці відомі її технічні можливості, а також кількість сировинних ресурсів, які можна використати.

Нехай кількість всіх видів ресурсів  позначимо їх . Це можуть бути метал, електроенергія, різні види поставок з інших підприємств. Припустимо, що на виробництві можуть випускатися  типів товарів .

Технологією виробництва товарів  назвемо набір чисел  , що показують, яка кількість ресурсів  необхідні для випуску однієї одиниці товару . Так виробництво товарів  можна подати як конвеєр, протягом якого подаються ресурси в кількості а в кінці конвеєра виходить готова одиниця продукту .

Отже, можна скласти технологічну матрицю, яка повністю описує технологічні можливості виробництва. Позначаємо її через

.

Нехай задані кількості  ресурсів ,, які можуть бути використані у виробництві, тоді – вектор ресурсів. Назвемо планом виробництва вектор , що показує, яка кількість товарів  буде вироблена.

Вважатимемо технологію виробництва лінійною, тобто припустимо, що всі витрати ресурсів зростають прямо пропорційно обсягу випуску. Припустимо, що витрати під час випуску  одиниць продукту  описуються вектором , причому одночасне функціонування декількох технологічних процесів приводить до сумарних витрат.

Отже, витрати ресурсів, необхідні для виконання плану виробництва , описуються вектором, координати якого мають такий вигляд:

або в матричній формі вектором . Умова обмеженості ресурсів записується у вигляді . Отже, при заданому векторі ресурсів розглянутою виробничою одиницею може бути будь-який випущений набір товарів , який задовольняє обмеженням , . Як правило, такий вектор не єдиний. У зв'язку з цим з'являється можливість вибору найкращого в деякому розумінні плану.

Розглянемо можливі постановки оптимізаційної задачі. Нехай задані ціни  на продукти виробництва . Потрібно визначити план виробництва, що максимізує вартість продукції. Формальний запис цієї задачі такий:

, , .(1)

Така постановка задачі відповідає принципу планування за валом. ............