Математическое выражение музыки
    
    Настоящая наука и настоящая музыка требуют однородного мыслительного процесса. А. Эйнштейн
    Нам известен пифагоров строй, т.е. математическое выражение интервальных коэффициентов, лидийской гаммы, или, в современной терминологии, строй натурального мажора:
    1 9 81 4 3 27 243 2
    8 64 3 2 16 128
    до ре ми фа соль ля си до
    9 9 256 9 9 9 256
    8 8 243 8 8 8 243
    Здесь цифры внизу обозначают интервальные коэффициенты соседних ступеней гаммы; напомним, что 9/8 есть тон, а 256/243- полутон. Основные консонансные (консонанс - согласованное сочетание двух звуков ) интервалы в пределах октавы - квинта и кварта - являются соответственно средним арифметическим и средним гармоническим частот основного тона и октавы. Кроме того, октава, квинта, кварта и тон образуют геометрическую пропорцию:
    октава / квинта = кварта / тон.
    Таким образом, музыкальная гамма разделена на пропорциональные части: она буквально пронизана пропорциями, а пропорциональность, как мы знаем, является одним из объективных критериев красоты. Однако на этом математика музыкальной гаммы не кончается, а, скорее, только начинается.
    Прежде всего, из соотношения видно, что расстояния между соседними ступенями пифагорова строя неодинаковы. Поэтому, во-первых, от ноты до можно было играть только в лидийском ладу, а чтобы сыграть от этой ноты, скажем, в дорийском ладу, необходимо было перестраивать почти все струны лиры. Во-вторых, от ноты ре получался уже не лидийский, а фригийский лад и, вообще, от каждой новой ноты начинался новый лад ( 7 ладов - по одному на каждую из 7 нот октавы). Поэтому, чтобы сыграть мелодию в лидийском ладу от другой ноты (чего, безусловно, требовали ограниченные возможности человеческого голоса: один поет выше, другой - ниже), лиру, также следовало перестраивать. (Конечно, если всю жизнь играть в одном ладу и одной тональности, то семи нот в октаве будет вполне достаточно. До сих пор прекрасно обходятся семью звуками некоторые гармошки и другие инструменты).
    Итак, для того, чтобы иметь возможность переходить из лада в лад и из тональности в тональность, строй должен быть равномерным, т.е. иметь одинаково высотные расстояния (интервальные коэффициенты) между звуками. Казалось бы, что проще: нужно разделить каждый тон - интервал пополам на два полутона, т.е. получить еще пять дополнительных звуков, и шкала пифагорова строя станет равномерной. Но вот тут то и таилась основная трудность.
    Дело в том, что половина тона (V9/8~1,0607) в точности не равна полутону (256/243~1,0545). Поэтому если в качестве единого масштаба строя взять полутон V9/8, т.е. заменить на него имеющиеся два полутона 256/243, то эти 12 новых полутонов приведут нас не точно в октаву, а чуточку выше: (V9/8) 12=(9/8)6=2,0273. Интервал между октавой, полученной шагами по 12-равномерным полутонам V9/8, и чистой октавой равен и называется пифагоровой коммой (коммой в музыкальной акустике называется интервал, не превышающий 1/9 целого тона. Пифагорова комма приблизительно равна 1/9 тона).
    Представляя пифагорову комму в виде
    
    мы получим ещё один важный результат: 12 квинт с точностью до пифагоровой коммы равны 7 октавам.
    Но , т.е. ............