Гомельская научно-практическая конференция школьников по математике, ее приложениям и информационным технологиям «Поиск»
Реферат на тему:
«Медианы треугольника»
Учеников:
9' класса государственного
учреждения образования
«Гомельская городская
Многопрофильная гимназия № 14»
Морозовой Елизаветы
Ходосовской Алеси
Научный руководитель-
Учитель математики высшей категории
Сафонова Алла Викторовна
Гомель 2009
Оглавление
Введение
1. Медианы треугольника и их свойства
2. Открытие немецкого математика Г. Лейбница
3. Применение медиан в математической статистике
4. Медианы тетраэдра
5. Шесть доказательств теоремы о медианах
Заключение
Список использованных источников и литературы
Приложение
Введение
Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии, но он не символ. Треугольник – атом геометрии.
Треугольник неисчерпаем – постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать о всех известных его свойствах, необходим том сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии. Мы хотим рассказать о медиане треугольника и ее свойствах, а так же о применении медиан.
Сначала вспомним, что медиана треугольника – это отрезок соединяющий вершины треугольника с серединой противоположной стороны. Медианы имеют множество свойств. Но мы рассмотрим одно свойство и 6 различных его доказательств. Три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроидом (центром масс) и делятся в отношении 2:1.
Существует медианы не только треугольника, но и тетраэдра. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противолежащей грани называется медианой тетраэдра. Мы так же рассмотрим свойство медиан тетраэдра.
Медианы используются в математической статистике. Например, для нахождения среднего значения некоторого набора чисел.
1. Медианы треугольника и их свойства
Как известно, медианами треугольника называются отрезки, соединяющие его вершины с серединами противоположных сторон. Все три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 1:2.
Точка пересечения медиан является также центром тяжести треугольника. Если подвесить картонный треугольник в точке пересечения его медиан то он будет находиться в состоянии равновесия
Любопытно, что вcе шесть треугольников, на которые всякий треугольник разбивается своими медианами, имеют одинаковые площади.
Медианы треугольника через его стороны выражаются так:
,
,
.
Если две медианы перпендикулярны, то сумма квадратов сторон, на которые они опущены, в 5 раз больше квадрата третьей стороны.
Построим треугольник, стороны которого равны медианам данного треугольника, тогда медианы построенного треугольника будут равны 3/4 сторон первоначального треугольника.
Данный треугольник назовем первым, треугольник из его медиан - вторым, треугольник из медиан второго - третьим и т. д. Тогда треугольники с нечетными номерами (1,3, 5, 7,...) подобны между собой и треугольники с четными номерами (2, 4, 6, 8,...) также подобны между собой.
Сумма квадратов длин всех медиан треугольника равняется ¾ суммы квадратов длин его сторон. ............