Методы решения алгебраических уравнений

1. Одношаговые итерационные модели

Для решения уравнений часто прибегают к итерационным методам, которые иногда называют методами последовательных приближений.

Суть этого класса методов можно раскрыть на примере.

Пусть нам нужно решить уравнение:

 (1)

для решения этого уравнения строится соответствующая итерационная формула:

 (2)

Задавая начальное приближение корня уравнения (1) в виде:

 (3)

находим дальнейшие приближения по формуле (2):

 (4),  (5),  (6)

Мы видим, что каждое вычисленное значение  становится исходным для вычисления последующих приближений .

Такие итерационные формулы называются одношаговыми.

Существуют и двухшаговые, трёхшаговые и т.д. итерационные формулы, которые определяются соответственно формулами:

 

- двухшаговая формула (7)

- трёхшаговые формула (8)

и т.д.

После построения итерационной формулы (2) возникают вопросы:

а) сколько нужно считать последовательных приближений , т.е. когда остановиться?

б) сходится ли последовательность приближений  к корню ?

Ответы на эти вопросы нужно давать всегда, когда имеем дело с методом последовательных приближений Пикара. На вопросы отвечают следующим образом:

а) задаётся точность вычислений  и итерационный процесс останавливают, как только достигается соответствующая абсолютная погрешность, т.е. как только выполняется условие:

 (9)

б) нужно соответствующим образом строить формулы (2), используя соответствующие теоремы о достаточном условии сходимости. В частности теорему Банаха о сжатых отображениях.

Определение: Пусть M - метрическое пространство с метрикой . Оператор A, отображающий это пространство в себя называется сжимающим, если существует такое число , что для любой пары элементов  имеет место неравенство:

 (10)

Т.о. сжимающий оператор сжимает расстояние между элементами  и , т.е. расстояние между образами элементов  меньше или равно расстоянию между их прообразами  и . Для таких отображений используется теорема Банаха. Теорема Банаха: Пусть A - сжимающий оператор в полном метрическом пространстве M, тогда уравнение

 (11)

имеет в этом пространстве одно и только одно решение, т.е. существует ровно один элемент , для которого выполняется уравнение . Этот элемент может быть получен как предел последовательности элементов

 (12)

где , причём элемент  может быть выбран произвольно. Эта теорема применима и для случая, когда оператор  - является функцией, т.е. для формулы (2), а также для построения сходящихся итерационных формул Ритца-Якоби в случае линейных систем алгебраических уравнений с плохо обусловленной матрицей (определитель близок к нулю) коэффициентов, для дифференциальных и интегральных операторов и т.д. Для итерационной формулы (2), применяя формулу Лагранжа о конечных приращениях, получаем, что для  имеет место соотношение:

 (13)

что со своей стороны можно переписать в виде

 (14)

если Чебышевская норма функций , т.е. если

 (15)

В таком случае отображение  из (2) является сжимающим и, соответственно, для неё имеет место теорема Банаха.Т. е. итерационная формула (2) позволяет найти корень  уравнения (1) по формуле

 (16)

Несмотря на кажущуюся простоту, итерационные формулы вида (2) таят в себе много интересных эффектов. ............