Многофункциональность упражнения и многофакторность умения
    А.В. Ястребов, Ярославский государственный педагогический университет
    В работе сформулированы два положения, связанные с процессом формирования математических умений. Проведено их обсуждение с точки зрения некоторых современных концепций преподавания математики. Основные утверждения
    Первое утверждение, которое мы назовём многофункциональностью упражнения, формулируется так: упражнение формирует, как правило, не одно умение, а целую группу умений.
    Проиллюстрируем это на материале курса алгебры и теории чисел. Для этого рассмотрим следующую задачу.
    Задача. Подкольцо Z кольца R порождает бинарное отношение T на R следующим образом:
    .
    Является ли T отношением эквивалентности? Если да, то найдите фактор-множество R/T.
    Прежде всего отметим, что появление такой задачи при изучении отношений эквивалентности вполне естественно. Действительно, при построении теории чисел в рамках базового курса алгебры и теории чисел мы вместо включения Z? R используем включение Gm? Z, где Gm - множество чисел, кратных m? 0, ? 1, а вместо бинарного отношения T - отношение сравнения ? по модулю m ; сами же отношения T и ? определяются единообразно.
    Доказательство того факта, что T - отношение эквивалентности, основано на свойствах операций над вещественными числами. Например, транзитивность доказывается следующим образом:
    
    Переходя к описанию фактор-множества нетрудно заметить, что любые различные числа полусегмента [0, 1) попарно неэквивалентны, и что любое вещественное число эвкивалентно одному из чисел данного полусегмента. Таким образом, фактор-множество построено, однако результат построения недостаточно хорош, поскольку с тем же основанием можно назвать фактор-множеством многие другие объекты, например, полусегмент [a, a+1) при произвольном a, полуинтервал (а, а+1], объединение сегмента и интервала и т.д. Для канонического описания фактор-множества нужно вспомнить, что полусегмент [0, 1) находится во взаимно-однозначном соответствии с полусегментом [0, 2? ), который, в свою очередь, находится во взаимно-однозначном соответствии с окружностью S, заданной стандартными параметрическими уравнениями. Образуя композицию этих соответствий, мы можем получить каноническое отображение , определяемое параметрическими уравнениями
    
    Итак, фактор-множество является окружностью: R/T=S.
    Приведённая схема решения показывает, что задача по своему происхождению является алгебраической, результат формулируется на геометрическом языке, а значительная часть доказательства осуществляется с помощью техники, характерной для математического анализа. Действительно, данная задача формирует группу разнохарактерных умений.
    Отступим от основной линии изложения и наметим развитие данной задачи в двух направлениях, геометрическом и алгебраическом.
    Отношение T на R порождает бинарное отношение T1на множестве R2, которое определяется следующим образом:
    
    Другими словами, две точки из R2 находятся в бинарном отношении T1, если их первые координаты эквивалентны в смысле отношенияT.
    Нетрудно доказать, что T1 - отношение эквивалентности. ............