Министерство общего и профессионального образования РФ Воронежский государственный университет факультет ПММ кафедра Дифференциальных уравнении Курсовая работа "Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре" Исполнитель : студент 4 курса 5 группы Никулин Л.А. Руководитель : старший преподаватель Рыжков А.В. Воронеж 1998г. ОГЛАВЛЕНИЕ
     МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В МДП-СТРУКТУРЕ
    Математическая модель - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ
    Использование разностных схем для решения
    уравнения Пуассона и для граничных условий
    раздела сред Уравнение Пуассона - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5 Граничные условия раздела сред - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8
    Общий алгоритм численого решения задачи Метод установления - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 10 Метод переменных направлений - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13 Построение разностных схем - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16 ПРИЛОЖЕНИЕ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ЛИТЕРАТУРА - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Математическая модель распределения потенциала в МДП-структуре Математическая модель
    Пусть??(x,y) - функция, описывающая распределение потенциала в полупроводниковой структуре. В области оксла (СDEF) она удовлетворяет уравнению Лапласа:
     d2??????d2????????
    dx2 dy2 а в области полупроводника (прямоугольник ABGH) - уравнению Пуассона: d2? ? d2? = ?
    dx2 dy2 где q - элементарный заряд e; ?nn -диэлектрическая проницаемость кремния; Nd(x,y) -распределение концентрации донорской примеси в подложке ; Na(x,y) -распределение концентрации акцепторной примеси в подложке; ?? -диэлектрическая постоянная
    0 D E
    y
    B G
    C F
    A H
    
    x На контактах прибора задано условие Дирихле: ?| BC = Uu ?| DE = Uз ?| FG = Uc ?| AH = Un На боковых сторонах полупроводниковой структуры требуется выполнение однородного условия Неймана вытекающее из симметричности структуры относительно линий лежащих на отрезках AB и GH: d???????? d?????????
    dy AB dy GH
     На боковых сторонах окисла так же задается однородное условие Неймана означающее что в направлении оси OY отсутствует течение электрического тока: d???????? d?????????
    dy DC dy EF На границе раздела структуры окисел- полупроводник ставится условие сопряжения :
    ?| -0 = ?| +0 ?ok Ex |-0 - ?nn Ex |+0 = - Qss где Qss -плотность поверхностного заряда;
    ?ok -диэлектрическая проницаемость окисла кремния;
    ?nn -диэлектрическая проницаемость полупроводника . Под символом "+0" и"-0" понимают что значение функции берется бесконечно близко к границе CF со стороны либо полупроводника либо окисла кремния . Здесь первое условие означает непрерывность потенциала при переходе границы раздела сред а второе - указывает соотношение связывающее величину разрыва вектора напряженности при переходе из одной среды в другую с величиной поверхностного заряда на границе раздела. ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ
    Использование разностных схем для решения уравнения Пуассона и для граничных условий раздела сред Уравнение Пуассона В области {(x,y) : 0 < x < Lx , 0 < y < Ly } вводится сетка W={(x,y) : 0 < i < M1 , 0 < j < M2} x0 =0 , y0=0, xM1 = Lx , yM2 = Ly xi+1 = xi + hi+1 , yj+1 = yj+ rj+1 i = 0,...,M1-1 j = 0,...,M2-1 Потоковые точки: xi+ 1/2 = xi + hi+1 , i = 0,1,...,M1-1
    2 yj+ 1/2 = yj + rj+1 , j = 0,1,...,M2-1
    2 Обозначим : U(xi,yj) = Uij I(xi+1/2,yj) = Ii+1/2,j I(xi,yj+1/2) = Ii,j+1/2 Проинтегрируем уравнение Пуассона: ?? = - q (Nd + Na)
    ?0?n
    Q(x,y) по области: Vij = { (x,y) : xi- 1/2 < x < xi+ 1/2 , yj- 1/2 < y < yj+ 1/2 }
    xi+ 1/2 yj+ 1/2 xi+ 1/2 yj+ 1/2 ????? ???dxdy = ?????? Q(x,y)dxdy
    xi- 1/2 yj- 1/2 xi- 1/2 yj- 1/2 Отсюда:
    yj+1/2 xi+1/2 ?(Ex(xi+1/2,y) - Ex(xi-1/2,y) )dx + ?(Ey(x,yj+1/2) - Ey(x,yj-1/2))dy=
    yj-1/2 xi-1/2
    xi+ 1/2 yj+ 1/2 = ?????? Q(x,y)dxdy xi- 1/2 yj- 1/2 Здесь: Ex(x,y) = - d?(x,y)
    dx (*) Ey(x,y) = - d?(x,y)
    dy x у-компоненты вектора напряженности электрического поля Е. Предположим при yj-1/2 < y < yj- 1/2 Ex(xi + 1/2,yj) = Ei+ 1/2 ,j = const
    yj-1/2 < y < yj- 1/2 Ex(xi - 1/2 ,yj) = Ei- 1/2 ,j = const (**) xi-1/2 < x < xi+ 1/2 Ey(xi, yj + 1/2) = Ei,j+ 1/2 = const xi-1/2 < x < xi+ 1/2 Ey(xi, yj -1/2 ) = Ei,j - 1/2 = const
    xi- 1/2 < x < xi+ 1/2 yj- 1/2 < y < yj+ 1/2 - Q(x,y) = Qij = const Тогда (Ex)i+ 1/2 ,j - (Ex)i -1/2 ,j r*j + (Ey)ij+ 1/2 - (Ey)ij- 1/2 h*i = Qijh*i r*j где h*i = hi - hi+1 , r*j = rj - rj+1
    2 2 Теперь Еi+ 1/2 ,j выражаем через значение ?(x,y) в узлах сетки:
    xi+1 ??x(x,yj)dx = - ?i+1,j - ?ij
    xi из (**) при y=yj: (Ex)i+ 1/2 ,j = - ?i+1j - ?ij
    hi+1
     Анологично : (Ey)i,j+ 1/2= - ?ij+1 - ?ij
    rj+1 Отсюда: (??)ij = 1 ??i+1,j - ??ij - ???i j - ??i-1,j + 1 ??i j+1 - ??ij - ??ij - ??ij-1 =
    h*i hi+1 hi r*j rj+1 rj = Ndij + Naij Граничные условия раздела сред
    SiO2
    ?1
    Si y
    ?n
    x Для области V0j
    yj+ 1/2 x 1/2 ?n?0 ?(Ex(x 1/2 ,y) - E+x(0,y))dy + ?n?0 ? (Ey(x,yj+ 1/2) - Ey(x,j- 1/2 ))dx =
    yj- 1/2 0
    
    x 1/2 yj+1/2 = q ? ? (Nd + Na)dxdy
    0 yj-1/2 Для области V`0j
    yj+ 1/2 x 1/2 ?n?0 ?(E-x(0,y) - Ex(x -1/2,y))dy + ?n?0 ? (Ey(x,yj+1/2) - Ey(x,j-1/2))dx = 0
    yj- 1/2 0 где E+x(0,y) и E-x(0,y) -предельные значения х компоненты вектора Е со стороны кремния и окисла.Складывая равенства и учитывая условия: ?n?0 d? + - ?1?0 d? - = -Qss
    dx dx имеем
    yj+1/2 x1/2 ? (?n?0Ex(x1/2,y) - ?1?0Ex(x-1/2,y) - Qss(y))dy + ?n?0? (Ey(x,yj+1/2) + ?y(x,yj-1/2))dx +
    yj-1/2 0
    0 x1/2 yj+1/2 + ?1?0 ? (Ey(x,yj+1/2) - Ey(x,yj-1/2))dx = q ??? (Nd + Na)dxdy
    x-1/2 0 yj-1/2 Сделав относительно Ex и Ey предположения анологичные (**) положив Qss(y) = Qss = const при yj-1/2 < y < yj+1/2 и учитывая условия : j+ = j- dj + = dj -
    dy dy "+"- со стороны кремния "-" - со стороны окисла Получим : ?n?0(Ex)1/2,j - ?1?0(Ex)-1/2,j - Qss r*j + ?n?0h1 + ?1?0h-1 . ............