БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

 

Кафедра ЭТТ

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

На тему:

«Модель Кронинга-Пенни. Структура энергетических зон»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МИНСК, 2008

Модель Кронига-Пенни.

d=a+b

E<

В модели Кронига-Пенни рассматривается движение электронов в линейной цепочке прямоугольных потенциальных ям. Амплитудное уравнение Шредингера для движения в таком поле имеет вид:

Как показал Блох, решением этого уравнения является волновая функция такого типа:

Она представляет собой произведение уравнения плоской бегущей волны , описывающей движение свободного электрона в поле с постоянным потенциалом, на периодическую функцию U(x), зависящую от волнового числа k и имеющую тот же период, что и период потенциала U(x) – период решетки d.

Для областей I(U=0) и областей II(U=) получаем:

  ;

  ; 

В области потенциального барьера волновой вектор принимает мнимое значение  , а за пределами барьера при =0 действительное α, А. В, С, Д- постоянные коэффициенты.

С помощью функции Блоха найдем вид функции U(x) для областей I и II:

Определить А, В, С, D можно с учётом того, что функция u(x) и её первая производная являются непрерывными в местах скачка потенциала

( с U1=0 до U2=U0 )

 

И обладает свойствами периодичности с периодам равным d=a+b

 .

Решая систему из четырёх уравнений при условии  и что определитель равен 0 получаем:

Использование этих условий позволяет определить не только А, В, С, D, но установить связь между  и . Введём дополнительные упрощения и будем считать, что ширина барьера , а высота  так что произведение bU=const.

Для бесконечно тонкого и бесконечно высокого барьера получаем:

, где .

Это уравнение выражает зависимость энергии электрона E, входящей в переменную  от волнового вектора  для барьеров различной прозрачности Р.

Так как  изменяется в пределах от (+I) до (-I) то  может принимать только такие значения при которых:.

В соответствии с формулой:

заштрихованные участки определяют область разрешенных энергий электрона – энергетические зоны.

Эти зоны отделены друг от друга полосами запрещенных энергии - запрещенными зонами. Им отвечают области значений , в которых, в которых  должна была бы быть больше +I или меньше -I, что запрещено выражением .

С увеличением энергии электрона ширина разрешенных зон увеличивается, а ширина запрещенных зон уменьшается.

Ширина зон зависит также от параметра Р. При  разрешенные зоны сужаются, превращаясь в дискретные уровни, соответствующие  где  т.е. к значениям, соответствующим изолированной потенциальной яме. При , наоборот, исчезают запрещенные зоны и электрон становится свободным.

Выразим Е с помощью

Рассмотрим зависимость энергии электрона от волнового вектора . Штрихпунктирная линия изображает зависимость Е() для свободного электрона.

Внутри каждой зоны энергии электрона непрерывно растет с ростом волнового вектора. ............