Задания к контрольной работе.
Задание 1.
В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).
Требуется:
1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1 =0,3; α2=0,6; α3=0,3.
2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1, = l,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 =0,32;
- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
Квартал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Вариант 9 41 52 62 40 44 56 68 41 47 60 71 44 52 64 77 47
Решение:
1. Построение адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса:
Исходные данные:
Таблица 1.
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Y(t) 41 52 62 40 44 56 68 41 47 60 71 44 52 64 77 47
Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из таблицы 1. Линейная модель имеет вид:
Yp(t) = a(0) + b(0) * t
Определим коэффициенты линейного уравнения а(0) и b(0) по формулам:
Произведем расчеты в Excel (рис.1):
Рис .1 расчеты в Excel
Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:
Yp(t) = 47 + 0,79*t
Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (рис. 2):
Рис. 2
Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта –Уинтерса.
Рис. 3
Оценив значения а(0) и b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0) перейдем к построению адаптивной модели Хольта Уинтерса.
Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t), F(T) для t=1 значения параметров сглаживания α1=0,3, α2=0,6, α3=0,3.
Рис. 4
2. Проверка точности построенной модели.
Условие точности выполнено, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%.
1,26%<5%, следовательно, условие точности выполнено.
3. Оценка адекватности построенной модели.
3.1 Проверка случайности уровней.
Гипотеза подтверждается если P > q, где
Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть.
Из таблицы P = 10, 6<10, т.е. можно заключить, что гипотеза выполнена.
3.2 проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверка проводится двумя методами:
а) по d-критерию Дарбина – Уотсона: табличные значения d1 = 1,08, d2 = 1,36
В данном случае имеет место отрицательная автокорреляция. ............
