Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников. Казакова Г.Г., доцент кафедры геометрии ХГПУ
    
    Рисунок 1. Центроид треугольника
    Применение методов векторной алгебры позволяет выявлять те особые свойства фигур, которые могут ускользнуть от нас при их наглядно-геометрическом рассмотрении, и при этом не потерять геометрическую наглядность изучаемого факта (как это часто бывает при применении метода координат).
    Остановимся на некоторых фактах, связанных с геометрией треугольника, которые позднее будут применены к вырожденным треугольникам, что позволит получить интересные результаты.
    Договоримся об обозначениях: точки будем обозначать заглавными буками обычным шрифтом (например: А, B) , а радиус-векторы точек (и обычные векторы) - жирным курсивом (например A, G, BC, b).
    1. Центроид треугольника. Точка G пересечения медиан треугольника АВС называется его центроидом. Выразим радиус-вектор G центроида через радиус-векторы A, B, C вершин треугольника при любом выборе начала векторов - точки О.
    По свойству медиан треугольника CG:GM=2 (смотри рис.1), следовательно G=(C+2M)/3, где М - середина стороны АВ, т.е. M=(A+B)/2. Итак,
    G=(A+B+C)/3 (1)
    Верно и обратное: если точки А, В и С не коллинеарны и имеет место условие (1), то точка G есть центроид треугольника АВС. В самом деле, пусть точка М - середина отрезка АВ, т. е. при любом выборе начала векторов О имеем M=(A+B)/2. Тогда из равенства (1) получим G=(C+2M)/3, т.е. G делит медиану СМ в отношении 2:1 и потому является центроидом треугольника АВС.
    2. Ортоцентр треугольника. Прямая Эйлера. Если за начало векторов взять центр О описанной вокруг треугольника АВС окружности, то радиус-вектор ортоцентра Н (точки пересечения высот) этого треугольника равен
    H = A+B+C (2)
    
    Рисунок 2. Ортоцентр треугольника
    В самом деле, векторы A+B и H-C (смотри рис.2) коллинеарны, значит, A+B = (H-C).
    По этой же причине B+C = (H-A).
    После почленного вычитания этих равенств получаем:
    A-C = ( - )H - C + A или
    (1 - )A + ( - 1)C + ( - )H = 0
    и при этом сумма коэффициентов
    (1 - ) + ( - 1) + ( - ) = 0.
    Выполнение двух этих условий возможно только в двух случаях:
    либо когда точки А, С и Н коллинеарны (это невозможно по условию), либо когда
    (1 - ) = ( - 1) = ( - ) = 0.
    Значит, имеет место последнее:
    = = 1
    и тогда H = A+B+C.
    Так как при любом выборе начала векторов точки О
    G=(A+B+C)/3
    то в данном случае G = H/3, т. е. точки О, G и Н коллинеарны и OG : GH = 1:2. Прямая OGH называется прямой Эйлера для треугольника АВС.
    Теорема 1: Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон и середин сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника.
    
    Рисунок 3.
    Доказательство: Примем центр описанной окружности за начало радиус - векторов точек. Если точка Е1 симметрична Н относительно середины стороны ВС (смотри рис.3), то :
    (B+C)/2 = (H+E1)/2, или
    E1 = B + C - H = -A, т.е. точки A и E1 диаметрально противоположные и
    E12 =A2 =R2.
    Пусть прямая АН пересекает прямую ВС в точке К, а окружность - в точке Н1. ............