Независимость событий в примере Бернштейна с правильным тетраэдром Реферат по дисциплине: "Теория вероятности и математическая статистика" Выполнил: Апаз С.В. Крымский Экономический Институт Киевского Национального Экономического Университета Симферополь - 2002 Независимость событий
    Понятие независимости является одним из важнейших понятий теории вероятностей.
    События А и В называются независимыми, если
    Р(АВ) = Р(А)Р(В). (1.1)
    В случае Р(А) = 0 и Р(В) > 0 эквивалентны любому из равенств
    Р(А|В) = Р(А), Р(В|А) = Р(В). (1.2)
    Определение независимости в форме (1.1) симметрично относительно А и В; условие (1.1) несколько шире, чем условия (1.2).
    Если математическая модель, описывающая некоторые опыт, подобрана достаточно хорошо, то независимым события реального опыта соответствуют событиям модели, независимые в смысле определения (1.1). Пусть, например, опыт заключается в том, что один раз бросают две симметричные монеты. В обозначениях положим ? = {ГГ, РР, РГ, ГР}; А = {ГГ, ГР} - первая монета выпала гербом вверх, В = {РГ, Г} - вторая монета выпала гербов вверх. Предполагая равновероятность элементарных событий, получим
    
    Таким образом, Р(АВ) = Р(А)Р(В). события А и В оказались независимыми в смысле определения (1.1).
    Условная вероятность. Независимость событий и испытаний.
    Начнем с примеров. Пусть эксперимент состоит в троекратно подбрасывании симметричной монеты. Вероятность того, что герб выпадет ровно один раз, т.е. что произойдет одно из элементарных событий (грр), (ргр), (ррг), в классической схеме равно 3/8. обозначим это событие буков А. Предположим теперь, что об исход эксперимента дополнительно известно, что произошло событие
    В = {число выпавших гербов нечетно}
    Какова вероятность события А при этой дополнительной информации? Событие В состоит из 4 элементарных исходов. Событие же А составляется из 3 исходов события В. в рамках классической схемы естественно принять новую вероятность события А равной 3/4.
    Рассмотрим еще один более общий пример. Пусть задана классическая схема с n исходами. Событие А состоит из r исходов, событие В из m исходов, а событие АВ содержит k исходов. Вероятность события А при условии, что произошло событие В, по аналогии с предыдущим примером, естественно определить следующим образом:
    
    Полученное отношение равно , так как
    Р(АВ) = k/n
    Р(В) = m/n.
    Мы можем перейти теперь ко общему определению.
    Пусть задано вероятностное пространство ??, ?, Р? и пусть А и В - произвольны события. Если Р(В) > 0, то условная вероятность события А при условии , что произошло событие В, по определению полагается равной
    
    События А и В называются независимыми, если
    Р(АВ) = Р(А)
    Некоторые свойства независимых событий.
    Если Р(В) > 0, то независимость А и В эквивалентна равенству
    Р(А/В) = Р(А)
    Доказательство очевидно.
    Если А и В независимы, от независимы A и В.
    Действительно,
    Р(AВ) = Р(В - АВ) = Р(В) - Р(АВ) = Р(В)(1 - Р(А)) = Р(A)Р(В)
    Пусть событие А и В1 независимы и независимы так же события А и В2, при этом В1В2 = O. ............