інтегральні характеристики векторних полів

1. Диференціальні операції другого порядку

Нехай в області  задані скалярне поле  і векторне поле , причому функції  мають в області  неперервні частинні похідні другого порядку. Тоді  і  є диференційовними векторними полями, а  – диференційовним скалярним полем.

До векторних полів  і  можна застосувати операції обчислення дивергенції і ротора, а до скалярного поля  – операцію обчислення градієнта. Таким чином, отримуємо повторні операції:

.

Операцію  називають оператором Лапласа і позначають також символом :

.

З допомогою оператора Гамільтона оператор Лапласа записується у вигляді

.

Враховуючи, що

,

дістаємо

.

Функція , яка задовольняє в деякій області рівняння Лапласа , називається гармонічною в цій області. Наприклад, лінійна функція  є гармонічною в довільній області. Оператор Лапласа широко застосовується в рівняннях математичної фізики. Відзначимо, зокрема, що потенціал електричного поля точкового заряду або поля тяжіння точкової маси, який має вигляд , при  задовольняє рівняння Лапласа:

(потенціальне векторне поле  є безвихровим) і

(векторне поле  є соленоїдальним).

1. Дві інші повторні операції  і  пов’язані співвідношенням

,                                             (1)

де – вектор-функція, координатами якої є результати застосування оператора Лапласа до функцій .

2. Розкладання векторного поля на суму потенціального і соленоїдального полів

Довільне неперервно диференційовне векторне поле  може бути зображено у вигляді

,                                              (2)

де  – потенціальне поле,  – соленоїдальне поле.

Дійсно, за означенням потенціальне векторне поле  є градієнтом деякого скалярного поля : . Тому для вектора  із рівності (2) маємо

.                                       (3)

Щоб векторне поле  було соленоїдальним, воно має задовольняти умову , звідси, враховуючи рівність (3), знаходимо

.

Таким чином, для скалярного потенціала поля  отримуємо рівняння

,                                                 (4)

де  – відома функція даного поля .

Отже, якщо функція  є розв’язком рівняння (4), то, поклавши , , отримаємо зображення поля  у вигляді (2), де  – потенціальне поле,  – соленоїдальне поле.

Рівняння (2) – неоднорідне рівняння в частинних похідних другого порядку, яке називається рівнянням Пуассона:

.

Відзначимо, що це рівняння має (нескінченну) множину розв’язків, тому зображення поля  у вигляді (2) не є єдиним.

2. Потік векторного поля

Розглянемо векторне поле , визначене в просторовій області , і деяку кусково-гладку орієнтовну поверхню . Нехай  – поле одиничних нормалей на обраній стороні поверхні .

Як було відзначено в п. 4.2, поверхневий інтеграл

                                             (5)

називається потоком векторного поля  через поверхню  в сторону, яка визначається вектором  (кажуть також «потік через обрану сторону поверхні »).

Якщо взяти іншу сторону поверхні (змінити орієнтацію), то вектор  змінить напрям на протилежний; тому скалярний добуток , а отже, і потік (поверхневий інтеграл (5)) змінить знак.

Якщо  – швидкість рухомої рідини, то  є кількістю (об’ємом) рідини, яка протікає через поверхню  у напрямі нормалі  за одиницю часу. ............