Министерство общего и профессионального образования РФ
    Кубанский государственный технологический университет
    
    Кафедра общей математики
    
    
    
    
    
    
    ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
    
    
    
    
    
    Белокопытов А.Ю., Морозов В.О.
    группа 20-КТ-61
    
    
    Краснодар, 2001
     Уравнения! Можно утверждать наверняка, что не найдется ни одного человека, который бы не был знаком с ними. Дети сызмала начинают решать "задачи с иксом". Дальше - больше. Правда, для многих знакомство с уравнениями и заканчивается школьными делами. Известный немецкий математик Курант писал: "На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека". И среди этих знаний было умение решать уравнения.
    
    Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения вида
    a0xn + a1xn - 1 + ... + an = 0
    - ведь к ним сводятся очень многие и очень разнообразные вопросы практики и естествознания (конечно, здесь можно сразу предполагать, что а0 ? 0, так как иначе степень уравнения на самом деле не n, а меньше). Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти для любой степени n формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты, т.е., решали бы уравнение в радикалах. Однако "мрачное средневековье" оказалось как нельзя более мрачным и в отношении обсуждаемой задачи - в течение целых семи столетий требуемых формул никто не нашел! Только в XVI веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше - найти формулы для n = 3 и 4. История их открытий и даже авторство найденных формул достаточно темны по сей день, и мы не будем здесь выяснять сложные отношения между Ферро, Кардано, Тартальей и Феррари, а изложим лучше математическую суть дела.
    Рассмотрим сначала уравнение
    a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0. Легко проверить, что если мы положим , где y - новое неизвестное, то дело сведется к решению уравнения y3 + py + q = 0, где p, q - новые коэффициенты. Счастливая догадка итальянцев состояла в том, чтобы искать y в виде суммы y = u + v, где u, v - д в а новых неизвестных. Для них наше уравнение перепишется - после небольшой перегруппировки слагаемых - так: u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0. Так как неизвестных теперь два, на них можно наложить еще какое-нибудь условие - лучше всего 3uv + p = 0, тогда исходное уравнение примет совсем простой вид u3 + v3 + q = 0. Это означает, что сумма кубов u3, v3 должна равняться - q, а их произведение . Следовательно, сами u3, v3 должны быть конями квадратного уравнения t2 + qt - p3/27 = 0, а для него формула уже известна. В итоге получается формула причем из девяти пар значений входящих в нее кубических радикалов надо брать только пары, дающие в произведении -p/3, как вытекает из нашего рассуждения. Исторически за этой формулой закрепилось название формулы Кардано, хотя вопрос о ее авторстве так до конца и не выяснен.
    Для n = 4 формулу открыл Феррари, она выглядит сложнее, но тоже использует только четыре арифметических действия и извлечение радикалов. ............